圆锥曲线1419.已知方向向量为的直线l过点（）和椭圆的焦点，且椭圆C的中心关于直线l的对称点在椭圆C的右准线上.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）是否存在过点E（－2，0）的直线m交椭圆C于点M、N，满足cot∠MON≠0（O为原点）.若存在，求直线m的方程；若不存在，请说明理由.（I）解法一：直线，①过原点垂直的直线方程为，②解①②得∵椭圆中心（0，0）关于直线的对称点在椭圆C的右准线上，∵直线过椭圆焦点，∴该焦点坐标为（2，0）.故椭圆C的方程为③（II）解法一：设M（），N（）.当直线m不垂直轴时，直线代入③，整理得点O到直线MN的距离即即整理得当直线m垂直x轴时，也满足.故直线m的方程为或或经检验上述直线均满足.所以所求直线方程为或或解法二：设M（），N（）.当直线m不垂直轴时，直线代入③，整理得∵E（－2，0）是椭圆C的左焦点，∴|MN|=|ME|+|NE|=以下与解法一相同.∴=，整理得解得或故直线m的方程为或或经检验上述直线均满足所以所求直线方程为或或20.如图，直线l1：y＝kx（k>0）与直线l2：y＝－kx之间的阴影区域（不含边界）记为W，其左半部分记为W1，右半部分记为W2．（I）分别用不等式组表示W1和W2；（II）若区域W中的动点P(x，y)到l1，l2的距离之积等于d2，求点P的轨迹C的方程；（III）设不过原点O的直线l与（II）中的曲线C相交于M1，M2两点，且与l1，l2分别交于M3，M4两点．求证△OM1M2的重心与△OM3M4的重心重合．（III）当直线l与x轴垂直时，可设直线l的方程为x＝a（a≠0）．由于直线l，曲线C关于x轴对称，且l1与l2关于x轴对称，于是M1M2，M3M4的中点坐标都为（a，0），所以△OM1M2，△OM3M4的重心坐标都为（a，0），即它们的重心重合，当直线l1与x轴不垂直时，设直线l的方程为y=mx+n（n≠0）．由，得由直线l与曲线C有两个不同交点，可知k2－m2≠0且△=>0设M1，M2的坐标分别为(x1,y1)，(x2,y2)，则,,设M3，M4的坐标分别为(x3,y3)，(x4,y4)，由得从而，所以y3+y4=m(x3+x4)+2n＝m(x1+x2)+2n＝y1+y2,于是△OM1M2的重心与△OM3M4的重心也重合．21.在平面直角坐标系xOy中，抛物线上异于坐标原点Ｏ的两不同动点Ａ、Ｂ满足（如图４所示）．（Ⅰ）求得重心Ｇ（即三角形三条中线的交点）的轨迹方程；（Ⅱ）的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．所以重心为G的轨迹方程为（II）由（I）得当且仅当即时，等号成立。所以△AOB的面积存在最小值，存在时求最小值1；
