第1课时等比数列的前n项和课后篇巩固探究A组1.已知数列{an}的通项公式是an=2n,Sn是数列{an}的前n项和,则S10等于()A.10B.210C.a10-2D.211-2解析∵=2,∴数列{an}是公比为2的等比数列,且a1=2.∴S10==211-2.答案D2.在等比数列{an}中,a2=9,a5=243,则{an}的前4项和为()A.81B.120C.168D.192解析因为=27=q3,所以q=3,a1==3,S4==120.答案B3.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且a1+a3=,a2+a4=,则=()A.4n-1B.4n-1C.2n-1D.2n-1解析设公比为q,则q=,于是a1+a1=,因此a1=2,于是Sn==4,而an=2,于是=2n-1.答案D4.在14与之间插入n个数组成一个等比数列,若各项总和为,则此数列的项数为()A.4B.5C.6D.7解析设a1=14,an+2=,则Sn+2=,解得q=-.所以an+2=14·,解得n=3.故该数列共5项.答案B5.已知首项为1,公比为的等比数列{an}的前n项和为Sn,则()A.Sn=2an-1B.Sn=3an-2C.Sn=4-3anD.Sn=3-2an解析在等比数列{an}中,Sn==3-2an.答案D6.对于等比数列{an},若a1=5,q=2,Sn=35,则an=.解析由Sn=,得an==20.答案207.在等比数列{an}中,设前n项和为Sn,若a3=2S2+1,a4=2S3+1,则公比q=.解析因为a3=2S2+1,a4=2S3+1,两式相减,得a4-a3=2a3,即a4=3a3,所以q==3.答案38.数列,…,的前n项和Sn=.解析∵Sn=+…+,①Sn=+…+,②由①-②,得Sn=+…+=1-,∴Sn=2-.答案2-9.已知等比数列{an}满足a3=12,a8=,记其前n项和为Sn.(1)求数列{an}的通项公式an;(2)若Sn=93,求n.解(1)设等比数列{an}的公比为q,则解得所以an=a1qn-1=48·.(2)Sn==96.由Sn=93,得96=93,解得n=5.10.导学号04994046已知等差数列{an}的首项为a,公差为b,方程ax2-3x+2=0的解为1和b(b≠1).(1)求数列{an}的通项公式;(2)若数列{an}满足bn=an·2n,求数列{bn}的前n项和Tn.解(1)因为方程ax2-3x+2=0的两根为x1=1,x2=b,可得解得所以an=2n-1.(2)由(1)得bn=(2n-1)·2n,所以Tn=b1+b2+…+bn=1×2+3×22+…+(2n-1)·2n,①2Tn=1×22+3×23+…+(2n-3)·2n+(2n-1)·2n+1,②由①-②,得-Tn=1×2+2×22+2×23+…+2·2n-(2n-1)·2n+1=2(2+22+23+…+2n)-(2n-1)·2n+1-2=2·-(2n-1)·2n+1-2=(3-2n)·2n+1-6.所以Tn=(2n-3)·2n+1+6.B组1.等比数列{an}的前n项和为Sn,若S2n=3(a1+a3+…+a2n-1),a1a2a3=8,则Sn=()A.2n-1B.2n-1-1C.2n+1-1D.2n+1解析显然q≠1,由已知,得=3×,整理,得q=2.因为a1a2a3=8,所以=8,所以a2=2,从而a1=1.于是Sn==2n-1.答案A2.已知数列{an}是首项为1的等比数列,Sn是{an}的前n项和,且9S3=S6,则数列的前5项和为()A.或5B.或5C.D.解析由题意易知公比q≠1.由9S3=S6,得9·,解得q=2.所以是首项为1,公比为的等比数列.所以其前5项和为S5=.答案C3.在等比数列{an}中,a1+a2+…+a5=27,+…+=3,则a3=()A.±9B.9C.±3D.3解析设公比为q,则由已知可得两式相除,得q4=9,即=9,所以a3=±3.答案C4.若等比数列{an}的前n项和为Sn,且S1,S3,S2成等差数列,则{an}的公比q=.解析由题意,得a1+(a1+a1q)=2(a1+a1q+a1q2),又a1≠0,q≠0,故q=-.答案-5.1++…+=.解析设Sn=1++…+,则Sn=+…+,两式相减,得Sn=1++…+.所以Sn=3-.答案3-6.若等比数列{an}的前n项和为Sn,且S3+S6=2S9,则公比q等于.解析若q=1,S3+S6=3a1+6a1=9a1≠2S9.∴q≠1,∴,即2q9-q6-q3=0,∴q3(2q6-q3-1)=0.∵q≠0,∴2q6-q3-1=0,∴(q3-1)(2q3+1)=0,∴q3=-或q3=1(舍),∴q=-.答案-7.已知等比数列{an}的各项均为正数,且2a1+3a2=1,=9a4a8.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bn=an-an-1,求数列{bn}的前n项和Sn.解(1)设{an}的公比为q,则由=9a4a8,得(a1q4)2=9a1q3·a1q7,即q8=9q10,因此q2=.因为{an}的各项均为正数,所以q>0,所以q=.又因为2a1+3a2=1,所以2a1+3a1·=1,解得a1=,故an=,即an=.(2)由(1)得bn=an-an-1==-,所以{bn}是首项为-,公比为的等比数列,因此其前n项和Sn=-1.8.导学号04994047已知数列{an}的前n项和Sn=an+n2-1,数列{bn}满足3n·bn+1=(n+1)an+1-nan,且b1=3.(1)求an,bn;(2)设Tn为数列{bn}的前n项和,求Tn.解(1)当n≥2时,Sn=an+n2-1,Sn-1=an-1+(n-1)2-1,两式相减,得an=an-an-1+2n-1,∴an-1=2n-1.∴an=2n+1.∴3n·bn+1=(n+1)(2n+3)-n(2n+1)=4n+3.∴bn+1=,∴当n≥2时,bn=.又b1=3适合上式,∴bn=.(2)由(1)知bn=,∴Tn=+…+,①Tn=+…+,②①-②,得Tn=3++…+=3+4·=5-.∴Tn=.
