等差、等比数列的综合应用A级基础巩固一、选择题1．已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是{an}的前n项和，且9S3＝S6，则数列的前5项和为()A.或5B.或5C.D.解析：设{an}的公比为q，显然q≠1，由题意得＝，所以1＋q3＝9，得q＝2，所以是首项为1，公比为的等比数列，其前5项和为＝.答案：C2．设各项都是正数的等比数列{an}，Sn为其前n项和，且S10＝10，S30＝70，那么S40等于()A．150B．－200C．150或－200D．400解析：依题意，数列S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30成等比数列，因此有(S20－S10)2＝S10(S30－S20)．即(S20－10)2＝10(70－S20)，解得S20＝－20或S20＝30，又S20>0，因此S20＝30，S20－S10＝20，S30－S20＝40，故S40－S30＝80，S40＝150.答案：A3．(多选)已知数列{an}为等差数列，首项为1，公差为2，数列{bn}为等比数列，首项为1，公比为2，设cn＝abn，Tn为数列{cn}的前n项和，则当Tn<2019时，n的取值可以是下面选项中的()A．8B．9C．10D．11解析：由题意，an＝1＋2(n－1)＝2n－1，bn＝2n－1，cn＝abn＝2·2n－1－1＝2n－1，则数列{cn}为递增数列，其前n项和Tn＝(21－1)＋(22－1)＋(23－1)＋…＋(2n－1)＝(21＋22＋…＋2n)－n＝－n＝2n＋1－2－n.当n＝9时，Tn＝1013<2019；当n＝10时，Tn＝2036>2019.所以n的取值可以是8，9.故选A、B项．答案：AB4．一个项数是偶数的等比数列，它的偶数项的和是奇数项的和的两倍，它的首项为1，且中间两项的和为24，则此等比数列的项数为()A．12B．10C．8D．6解析：设该等比数列的项数为2n，依题意得S奇＝a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1，S偶＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n＝a1q＋a3q＋…＋a2n－1q＝q·S奇．因为S偶＝2S奇，所以q＝2.又an＋an＋1＝a1qn－1＋a1qn＝2n－1＋2n＝3×2n－1＝24，所以2n－1＝8＝23，所以n－1＝3，解得n＝4，所以2n＝8.答案：C5．在数列{an}中，已知对任意n∈N*，a1＋a2＋a3＋…＋an＝3n－1，则a＋a＋a＋…＋a等于()A．(3n－1)2B．(9n－1)C．9n－1D．(3n－1)解析：因为a1＋a2＋…＋an＝3n－1，n∈N*，当n≥2时，有a1＋a2＋…＋an－1＝3n－1－1，所以当n≥2时，an＝3n－3n－1＝2·3n－1，又n＝1时，a1＝2适合上式，所以an＝2·3n－1，故数列{a}是首项为4，公比为9的等比数列．因此a＋a＋…＋a＝＝(9n－1)．答案：B二、填空题6．数列{an}中，an＝则它的前n项和Sn＝________．解析：易知数列{an}的奇数项为以1为首项，4为公比的等比数列，偶数项是以3为首项，4为公差的等差数列．(1)当n为奇数时，奇数项有项，偶数项有项，所以Sn＝＋＋·4＝＋；(2)当n为偶数时，奇数项、偶数项各有项，所以Sn＝＋×3＋×4＝＋.答案：7．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10＝40，S20＝120，则S30＝________．解析：由等比数列的性质，知S10，S20－S10，S30－S20也成等比数列，所以S30－S20＝＝＝160，所以S30＝280.答案：2808．等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝a－3n＋1，则a的值为________．解析：若数列{an}是等比数列，则它的前n项和公式为Sn＝A－Aqn，其中A＝，而此数列Sn＝a－3×3n，故a＝3.答案：3三、解答题9．已知在等比数列{an}中，a1＝1，且a2是a1和a3－1的等差中项．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足b1＋2b2＋3b3＋…＋nbn＝an(n∈N*)，求{bn}的通项公式bn.解：(1)由题意，得2a2＝a1＋a3－1，即2a1q＝a1＋a1q2－1，整理得2q＝q2.又q≠0，解得q＝2，所以an＝2n－1.(2)当n＝1时，b1＝a1＝1；当n≥2时，nbn＝an－an－1＝2n－2，即bn＝，所以bn＝10．已知{an}为公差不为0的等差数列，a1＝2，且a1，a3，a9成等比数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若bn＝2an，cn＝an＋(－1)nbn，求数列{cn}的前n项和Sn.解：(1)设数列{an}的公差为d，d≠0，所以a1，a3，a9成等比数列，所以a＝a1a9，即(a1＋2d)2＝a1(a1＋8d)，即a1d＝d2，因为d≠0，所以d＝a1＝2，所以an＝a1＋(n－1)d＝2＋(n－1)×2＝2n.(2)由题意得，bn＝22n＝4n，则cn＝2n＋(－1)n4n＝2n＋(－4)n，所以Sn＝＋＝n(n＋1)－.B级能力提升1．(2017·全国卷Ⅰ)几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活...
