2.4第2课时等比数列的性质A级基础巩固一、选择题1.＋1与－1，两数的等比中项是()A．1B．－1C．±1D.解析：设等比中项为b，则b2＝(＋1)·(－1)＝1，所以b＝±1.答案：C2．在等比数列{an}中，a1＋a2＋a3＝2，a4＋a5＋a6＝4，则a10＋a11＋a12等于()A．32B．16C．12D．8解析：＝q3＝＝2，所以a10＋a11＋a12＝(a1＋a2＋a3)q9＝2·(23)＝24＝16.答案：B3．已知方程(x2－mx＋2)(x2－nx＋2)＝0的四个根组成以为首项的等比数列，则等于()A.B.或C.D．以上都不对解析：不妨设是x2－mx＋2＝0的根，则其另一根为4，所以m＝4＋＝，对方程x2－nx＋2＝0，设其根为x1，x2(x10，又a＝a10>0，所以an>0，q>1，由条件得2＝5，即2＝5，所以q＝2或q＝(舍)，由a＝a10得(a1q4)2＝a1q9，所以a1＝q＝2，故an＝2n.答案：2n三、解答题9．已知一个等比数列的首项为1，项数是偶数，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求这个数列的公比和项数．解：法一：设该数列的公比为q，项数为2n，则S偶＝qS奇⇒＝85＋170，所以22n－1＝255.所以2n＝8.故这个数列的公比为2，项数为8.法二：设该数列的公比为q，项数为2n，则S奇＝＝85，S偶＝＝170.所以n＝4，q＝2.10．三个正数成等比数列，它们的和等于21，倒数的和等于，求这三个数．解：设三个数为，a，aq(a，q>0)，由题，所以⇒a2＝21×＝36，所以a＝6，q＝2或，所以三个数为3，6，12或12，6，3.B级能力提升1．等比数列x，3x＋3，6x＋6，…的第四项等于()A．－24B．0C．12D．24解析：由题意知(3x＋3)2＝x(6x＋6)，即x2＋4x＋3＝0，解得x＝－3或x＝－1(舍去)，所以等比数列的前3项是－3，－6，－12，则第四项为－24.2答案：A2．等比数列{an}中，a1＝317，q＝－.记f(n)＝a1·a2·…·an，则当f(n)最大时，n的值为________．解析：由于an＝317×，易知a9＝317×＞1，a10＜0，0＜a11＜1，又a1a2…a9＞0，故f(9)＝a1a2…a9值最大，此时n＝9.答案：93．容器A中盛有浓度为a%的农药mL，容器B中盛有浓度为b%的同种农药mL，A，B两容器中农药的浓度差为20%(a＞b)，先将A中农药的倒入B中，混合均匀后，再由B倒入一部分到A中，恰好使A中保持mL，问至少经过多少次这样的操作，两容器中农药的浓度差小于1%?解：设第n次操作后，A中农药的浓度为an，B中农药的浓度为bn，则a0＝a%，b0＝b%.b1＝(a0＋4b0)，a1＝a0＋b1＝(4a0＋b0)；b2＝(a1＋4b1)，a2＝a1＋b2＝(4a1＋b1)；…；bn＝(an－1＋4bn－1)．an＝(4an－1＋bn－1)，所以an－bn＝(an－1－bn－1)＝…＝(a0－b0)·.因为a0－b0＝，所以an－bn＝·.依题意知·＜1%，n∈N*，解得n≥6.故至少经过6次这样的操作，两容器中农药的浓度差小于1%.3
