2.3第2课时等差数列的前n项和(习题课)A级基础巩固一、选择题1．一个等差数列共有2n＋1项，其奇数项的和为512，偶数项的和为480，则中间项为()A．30B．31C．32D．33解析：中间项为an＋1.S奇＝·(n＋1)＝(n＋1)an＋1＝512.S偶＝·n＝n·an＋1＝480.所以an＋1＝S奇－S偶＝512－480＝32.答案：C2．等差数列{an}的公差d＝且S100＝145，则a1＋a3＋a5＋…＋a99的值为()A．52.5B．72.5C．60D．85解析：设a1＋a3＋a5＋…＋a99＝x，a2＋a4＋…＋a100＝y，则x＋y＝S100＝145，y－x＝50d＝25.解得x＝60，y＝85.答案：C3．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则为()A.B.C.D.解析：S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9，构成一个新的等差数列，因为S3＝1，S6－S3＝3－1＝2，所以S9－S6＝3，S12－S9＝4.所以S12＝S3＋(S6－S3)＋(S9－S6)＋(S12－S9)＝1＋2＋3＋4＝10.所以＝.答案：A4．若数列{an}的前n项和是Sn＝n2－4n＋2，则|a1|＋|a2|＋…＋|a10|等于()A．15B．35C．66D．100解析：易得an＝|a1|＝1，|a2|＝1，|a3|＝1，令an>0则2n－5>0，所以n≥3.所以|a1|＋|a2|＋…＋|a10|＝－(a1＋a2)＋a3＋…＋a10＝2＋(S10－S2)＝2＋[(102－4×10＋2)－(22－4×2＋2)]＝66.答案：C5．把正整数以下列方法分组：(1)，(2，3)，(4，5，6)，…，其中每组都比它的前一组多一个数，设Sn表示第n组中所有各数的和，那么S21等于()A．1113B．4641C．5082D．53361解析：因为第n组有n个数，所以前20组一共有1＋2＋3＋…＋20＝210个数，于是第21组的第一个数为211，这组一共有21个数，S21＝21×211＋×1＝4641.答案：B二、填空题6．已知数列{an}满足a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝n2，则数列{an}的通项公式为________．解析：a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝n2，当n≥2时，a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)·an－1＝(n－1)2，所以nan＝2n－1，所以an＝.当n＝1时，a1＝1，符合上式，所以数列{an}的通项公式为an＝.答案：an＝7．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a4＝1，S5＝10，则当Sn取得最大值时，n的值为________．解析：由解得所以a5＝a1＋4d＝0，所以S4＝S5同时最大．所以n＝4或5.答案：4或58．若等差数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*)，若a2∶a3＝5∶2，则S3∶S5＝________．解析：＝＝＝×＝.答案：3∶2三、解答题9．设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3＝12，且S12＞0，S13＜0.(1)求公差d的范围；(2)问前几项的和最大，并说明理由．解：(1)因为a3＝12，所以a1＝12－2d，因为S12＞0，S13＜0，所以即所以－＜d＜－3.(2)因为S12＞0，S13＜0，所以所以所以a6＞0，又由(1)知d＜0.所以数列前6项为正，从第7项起为负．所以数列前6项和最大．10．在数列{an}中，a1＝1，an＝(n≥2)，求数列{an}的通项公式．解：因为an＝Sn－Sn－1，所以Sn－Sn－1＝，即(Sn－Sn－1)(2Sn－1)＝2S，即Sn－1－Sn＝2SnSn－1，即－＝2，所以为等差数列，且＝＝1，所以＝1＋2(n－1)，即Sn＝.所以an＝Sn－Sn－1＝－＝(n≥2)，又a1＝1≠，所以an＝B级能力提升1．设等差数列{an}的前n项和为Sn，Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m等于()A．3B．4C．5D．6解析：am＝Sm－Sm－1＝2，am＋1＝Sm＋1－Sm＝3，所以公差d＝am＋1－am＝1，由Sm＝＝0，得a1＝－2，所以am＝－2＋(m－1)·1＝2，解得m＝5.答案：C2．若数列{an}是等差数列，首项a1＞0，a2003＋a2004＞0，a2003·a2004＜0，则使前n项和Sn＞0成立的最大自然数n是________．解析：由条件可知数列单调递减，故知a2003＞0，a2004＜0，故S4006＝＝2003·(a2003＋a2004)＞0，S4007＝＝4007×a2004＜0，故使前n项和Sn＞0成立的最大自然数n是4006.答案：40063．数列{an}的各项都为正数，且满足Sn＝(n∈N*)，求数列的通项公式an.解：法一(消Sn)：由Sn＝(n∈N*)，得4an＋1＝4(Sn＋1－Sn)＝(an＋1＋1)2－(an＋1)2化简得(an＋1＋an)(an＋1－an－2)＝0，因为an＞0，所以an＋1－an＝2，又4S1＝4a1＝(a1＋1)2得a1＝1，故{an}是以1为首项，2为公差的等差数列，所以an＝2n－1.法二(消an)：由上可知2＝an＋1，所以2＝Sn－Sn－1＋1(n≥2)，化简可得(－1)2＝Sn－1，(＋－1)(－－1)＝0，又S1＝1，{an}的各项都为正数，所以－＝1.所以＝n，从而Sn＝n2，所以an＝Sn－Sn－1＝2n－1(n≥2)，a1＝1也适合，故an＝2n－1.
