高中数学 第二章 数列 2.2 等差数列 第1课时 等差数列的概念与通项公式达标检测（含解析）新人教A版必修5-新人教A版高一必修5数学试题VIP免费

等差数列A级基础巩固一、选择题1．有穷等差数列5，8，11，…，3n＋11(n∈N*)的项数是()A．nB．3n＋11C．n＋4D．n＋3解析：在3n＋11中令n＝1，结果为14，它是这个数列的第4项，前面还有5，8，11三项，故这个数列的项数为n＋3.答案：D2．若{an}是等差数列，则由下列关系确定的数列{bn}也一定是等差数列的是()A．bn＝aB．bn＝an＋n2C．bn＝an＋an＋1D．bn＝nan解析：{an}是等差数列，设an＋1－an＝d，则数列bn＝an＋an＋1满足：bn＋1－bn＝(an＋1＋an＋2)－(an＋an＋1)＝an＋2－an＝2d.答案：C3．已知等差数列{an}中，an>an－1(n≥2)，若a3＝1，a2a4＝，则a1＝()A．－1B．0C．D．解析：法一设等差数列{an}的公差为d.因为an>an－1(n≥2)，所以d>0.由题意可知即解得d2＝，又d>0，所以d＝，所以a1＝1－2d＝0，故选B.法二设等差数列{an}的公差为d，因为a3＝1，所以a2＋a4＝2，又a2a4＝，所以a2＝，a4＝或a2＝，a4＝.又因为an>an－1(n≥2)，所以a2＝，a4＝，所以d＝×＝，又a2＝a1＋d.所以a1＝a2－d＝－＝0，故选B.答案：B4．2018是等差数列4，6，8，…的()A．第1005项B．第1006项C．第1007项D．第1008项解析：由题易知通项an＝4＋(n－1)×2＝2n＋2，令2018＝2n＋2，所以n＝1008.答案：D5．若lg2，lg(2x－1)，lg(2x＋3)成等差数列，则x的值等于()A．0B．log25C．32D．0或32解析：依题意得2lg(2x－1)＝lg2＋lg(2x＋3)，所以(2x－1)2＝2(2x＋3)，所以(2x)2－4·2x－5＝0，所以(2x－5)(2x＋1)＝0，所以2x＝5或2x＝－1(舍)，所以x＝log25.答案：B二、填空题6．已知a，b，c成等差数列，那么二次函数y＝ax2＋2bx＋c(a≠0)的图象与x轴的交点有________个．解析：因为a，b，c成等差数列，所以2b＝a＋c，又因为Δ＝4b2－4ac＝(a＋c)2－4ac＝(a－c)2≥0，所以二次函数的图象与x轴的交点有1或2个．答案：1或27．已知是等差数列，且a4＝6，a6＝4，则a10＝________．解析：设公差为d，因为－＝－＝＝2d，所以d＝.同理，－＝4d＝4×＝，所以a10＝.答案：8．数列{an}是首项为2，公差为3的等差数列，数列{bn}是首项为－2，公差为4的等差数列．若an＝bn，则n的值为________．解析：an＝2＋(n－1)×3＝3n－1，bn＝－2＋(n－1)×4＝4n－6，令an＝bn，得3n－1＝4n－6，所以n＝5.答案：5三、解答题9．等差数列{an}中，a3＋a4＝4，a5＋a7＝6.(1)求{an}的通项公式；(2)设bn＝[an]，求数列{bn}的前10项和，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]＝0，[2.6]＝2.解：(1)设数列{an}的公差为d，由题意有2a1＋5d＝4，a1＋5d＝3.解得a1＝1，d＝.所以{an}的通项公式为an＝.(2)由(1)知，bn＝.当n＝1，2，3时，1≤＜2，bn＝1；当n＝4，5时，2≤＜3，bn＝2；当n＝6，7，8时，3≤＜4，bn＝3；当n＝9，10时，4≤＜5，bn＝4.所以数列{bn}的前10项和为1×3＋2×2＋3×3＋4×2＝24.10．已知数列{an}满足an＋1＝(n∈N*)，且a1＝0.(1)求a2，a3的值．(2)是否存在一个实数λ，使得数列为等差数列？请说明理由．解：(1)a2＝，a3＝.(2)存在．理由：假设存在一个实数λ，使得数列为等差数列，则，，成等差数列，所以＝＋，所以＝＋，解得λ＝1.因为－＝－＝－＝＝－，又＝－1，所以存在一个实数λ＝1，使得数列是首项为－1，公差为－的等差数列．B级能力提升1．设数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，则a37＋b37等于()A．0B．37C．100D．－37解析：设{an}，{bn}的公差分别为d1，d2，则(an＋1＋bn＋1)－(an＋bn)＝(an＋1－an)＋(bn＋1－bn)＝d1＋d2，所以{an＋bn}为等差数列，又a1＋b1＝a2＋b2＝100，所以{an＋bn}为常数列，所以a37＋b37＝100.答案：C2．在数列{an}中，a1＝3，且对于任意大于1的正整数n，点(，)都在直线x－y－＝0上，则an＝________．解析：由题意得－＝，所以数列{}是首项为，公差为的等差数列，所以＝n，an＝3n2.答案：3n23．已知数列{an}满足a1＝4，an＋1＝4－，其中n∈N*.设bn＝.(1)求证：数列{bn}是等差数列；(2)求数列{an}的通项公式．(1)证明：因为bn＋1＝＝＝，所以bn＋1－bn＝－＝＝，b1＝＝，所以数列{bn}是首项为，公差为的等差数列．(2)由(1)知构成以＝为首项，d＝为公差的等差数列，所以＝＋(n－1)·＝，所以an＝2＋，所以数列{an}的通项公式为an＝2＋(n∈N*)．