高中数学 第二章 平面解析几何初步 2.2.4 点到直线的距离学业分层测评 新人教B版必修2-新人教B版高一必修2数学试题VIP专享VIP免费

2.2.4点到直线的距离(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.点P在x轴上，且到直线3x－4y＋6＝0的距离为6，则点P的坐标为()A.(8,0)B.(－12,0)C.(8,0)或(－12,0)D.(－8,0)或(12,0)【解析】设点P的坐标为(x,0)，则根据点到直线的距离公式可得＝6，解得x＝8或x＝－12.所以点P的坐标为(8,0)或(－12,0).【答案】C2.已知点A(0,2)、B(2,0)，若点C在函数y＝x2的图象上，则使得△ABC的面积为2的点C的个数为()A.4B.3C.2D.1【解析】由题意可得|AB|＝2，直线AB的方程为x＋y－2＝0.因为△ABC的面积为2，所以AB边上的高h满足方程×2h＝2，得h＝.设点C(t，t2)，则由点到直线的距离公式得＝，即|t2＋t－2|＝2，则t2＋t－4＝0或t2＋t＝0，这两个方程共有4个不相等的实数根，故满足题意的点C有4个.【答案】A3.到直线3x－4y－11＝0的距离为2的直线方程为()A.3x－4y－1＝0B.3x－4y－1＝0或3x－4y－21＝0C.3x－4y＋1＝0D.3x－4y－21＝0【解析】设所求的直线方程为3x－4y＋c＝0.由题意＝2，解得c＝－1或c＝－21.故选B.【答案】B4.已知点(a,2)(a>0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a等于()A.B.2－C.－1D.＋1【解析】由题意得＝1，即|a＋1|＝，又a>0，∴a＝－1.【答案】C5.抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0距离的最小值是()A.B.C.D.【解析】设P(x0，－x)为y＝－x2上任意一点，则由题意得P到直线4x＋3y－8＝0的距离d＝＝，∴当x0＝时，dmin＝＝.【答案】A二、填空题6.倾斜角为60°，且与原点的距离是5的直线方程为____________.【解析】因为直线斜率为tan60°＝，可设直线方程为y＝x＋b，化为一般式得x－y＋b＝0.由直线与原点距离为5，得＝5⇒|b|＝10.所以b＝±10.所以直线方程为x－y＋10＝0或x－y－10＝0.【答案】x－y＋10＝0或x－y－10＝07.若点P在直线x＋y－4＝0上，O为原点，则|OP|的最小值是________.【解析】|OP|的最小值，即为点O到直线x＋y－4＝0的距离，d＝＝2.【答案】28.已知x＋y－3＝0，则的最小值为________.【解析】设P(x，y)，A(2，－1)，则点P在直线x＋y－3＝0上，且＝|PA|.|PA|的最小值为点A(2，－1)到直线x＋y－3＝0的距离d＝＝.【答案】三、解答题9.已知直线l1和l2的方程分别为7x＋8y＋9＝0,7x＋8y－3＝0，直线l平行于l1，直线l与l1的距离为d1，与l2的距离为d2，且＝，求直线l的方程.【解】由题意知l1∥l2，故l1∥l2∥l.设l的方程为7x＋8y＋c＝0，则2·＝，解得c＝21或c＝5.∴直线l的方程为7x＋8y＋21＝0或7x＋8y＋5＝0.10.已知正方形的中心为直线x－y＋1＝0和2x＋y＋2＝0的交点，正方形一边所在直线方程为x＋3y－2＝0，求其他三边所在直线的方程.【解】∵由解得∴中心坐标为(－1,0).∴中心到已知边的距离为＝.设正方形相邻两边方程为x＋3y＋m＝0和3x－y＋n＝0.∵正方形中心到各边距离相等，∴＝和＝.∴m＝4或m＝－2(舍去)，n＝6或n＝0.∴其他三边所在直线的方程为x＋3y＋4＝0,3x－y＝0,3x－y＋6＝0.[能力提升]1.在坐标平面内，与点A(1,2)距离为1，且与点B(3,1)距离为2的直线共有()A.1条B.2条C.3条D.4条【解析】由题可知所求直线显然不与y轴平行，∴可设直线为y＝kx＋b，即kx－y＋b＝0.∴d1＝＝1，d2＝＝2，两式联立，解得b1＝3，b2＝，∴k1＝0，k2＝－.故所求直线共有两条.【答案】B2.若动点A(x1，y1)、B(x2，y2)分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移动，则AB中点M到原点距离的最小值为()A.3B.2C.3D.4【解析】根据已知条件可以知道，AB的中点M一定在处于l1，l2之间且与l1，l2距离相等的直线上，即M在直线x＋y－6＝0上，M到原点距离的最小值就是原点到直线x＋y－6＝0的距离，由点到直线的距离公式得d＝＝3.【答案】A3.若直线m被两平行线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0所截得的线段的长为2，则m的倾斜角可以是①15°，②30°，③45°，④60°，⑤75°，其中正确答案的序号是________.(写出所有正确答案的序号)【解析】两平行线间的距离为d＝＝，由题意知直线m与l1的夹角为30°，l1的倾斜角为45°，所以直线m的倾斜角等于30°＋45°＝75°或45°－30°＝15°.【答案】①⑤4.如图224所示，已知直线l1：x＋y－1＝0，现将直线l1向上平移到直线l2的位置，若l2，l1和坐标轴围成的梯形面积为4，求l2的方程.图224【解】设l2的方程为y＝－x＋b(b>0)，则题图中A(1,0)，D(0,1)，B(b,0)，C(0，b).所以AD＝，BC＝b.梯形的高h就是A点到直线l2的距离，故h＝＝＝(b>1)，由梯形面积公式得×＝4，所以b2＝9，b＝±3.但b>1，所以b＝3.从而得到直线l2的方程是x＋y－3＝0.