习题课——平面向量数量积的综合应用1.已知a=(3,-2),b=(1,0),向量λa+b与a-2b垂直,则实数λ的值为()A.-1B.0C.-2D.3解析:向量λa+b与a-2b垂直,则(λa+b)·(a-2b)=0,又因为a=(3,-2),b=(1,0),故(3λ+1,-2λ)·(1,-2)=0,即3λ+1+4λ=0,解得λ=-.答案:C2.若△ABC满足∠A=,AB=2,则下列三个式子:①,②,③中为定值的式子的个数为()A.0B.1C.2D.3解析:因为=||||cos=0,所以为定值;因为=||||cosB=||2=4,所以为定值.同理=||2,而||不是定值,故③不满足.故选C.答案:C3.已知平行四边形ABCD中,AC为一条对角线,若=(2,4),=(1,3),则=()A.-8B.-6C.6D.8解析:·()=()·(-2)=[(1,3)-(2,4)]·[(1,3)-2(2,4)]=(-1)×(-3)+(-1)×(-5)=8.答案:D4.若a,b,c均为单位向量,且a·b=0,(a-c)·(b-c)≤0,则|a+b-c|的最大值为()A.-1B.1C.D.2答案:B5.已知|a|=2|b|≠0,且关于x的方程x2+|a|x+a·b=0有实根,则a与b夹角的取值范围是()A.B.C.D.解析:设a,b的夹角为θ,由题意得Δ≥0,即|a|2≥4a·b,∴cosθ=,∴θ≥.答案:B6.已知△ABC中,||=10,=-16,D为BC边的中点,则||等于()A.6B.5C.4D.3解析:∵D为BC边的中点,∴).∴||=|.又∵||=10,且,∴||=10,即()2=100,即||2+||2-2=100.∵=-16,∴||2+||2=68,故()2=68-32=36.∴||=6,即||=3.故选D.答案:D7.已知平面向量a=(2,4),b=(1,-2),若c=a-(a·b)b,则|c|=.解析:由题意可得a·b=2×1+4×(-2)=-6,∴c=a-(a·b)b=a+6b=(2,4)+6(1,-2)=(8,-8),∴|c|==8.答案:88.已知向量a=(2,1),b=(-1,2),若a,b在向量c上的投影相等,且(c-a)·(c-b)=-,则向量c的坐标为.解析:设c=(x,y),c与a的夹角为α,c与b的夹角为β.由已知有|a|cosα=|b|cosβ,即,即(a-b)·c=0,即3x-y=0①,由已知(c-a)·(c-b)=-,即x2+y2-x-3y+=0②,①②联立得x=,x=,即c=.答案:9.导学号03070113如图,A是半径为5的圆O上的一个定点,单位向量在A点处与圆O相切,点P是圆O上的一个动点,且点P与点A不重合,则的取值范围是.解析:如图所示,以AB所在直线为x轴,AO所在的直线为y轴,建立平面直角坐标系.设点P(x,y),B(1,0),A(0,0),则=(1,0),=(x,y),所以=(x,y)·(1,0)=x.因为点P在圆x2+(y-5)2=25上,所以-5≤x≤5,即-5≤≤5.所以应填[-5,5].答案:[-5,5]10.已知向量=(3,-4),=(6,-3),=(5-m,-(3+m)).(1)若点A,B,C不能构成三角形,求实数m应满足的条件;(2)若△ABC为直角三角形,求实数m的值.解:(1)∵=(3,-4),=(6,-3),=(5-m,-(3+m)),若点A,B,C不能构成三角形,则这三点共线.∵=(3,1),=(2-m,1-m),∴,即3(1-m)=2-m,∴m=.(2)若△ABC为直角三角形,且①A为直角,则,∴3(2-m)+(1-m)=0,解得m=.②B为直角,=(-1-m,-m),则,∴3(-1-m)+(-m)=0,解得m=-.③C为直角,则,∴(2-m)(-1-m)+(1-m)(-m)=0,解得m=.综上所述,m=或m=-或m=.11.已知AD,BE,CF是△ABC的三条高,求证:△ABC的三条高交于一点.证明:如图所示,设BE,CF交于H,=b,=c,=h,则=h-b,=h-c,=c-b.∵,∴由①-②,得h·(c-b)=0,即=0,∴,∴AH的延长线过点D,从而AD,BE,CF相交于一点H.12.导学号03070114已知=(2,1),=(1,7),=(5,1),设C是直线OP上的一点(其中O为坐标原点).(1)求使取到最小值时的;(2)对(1)中求出的点C,求cos∠ACB.解:(1)因为点C是直线OP上的一点,所以向量共线.设=t,则=t(2,1)=(2t,t),=(1-2t,7-t),=(5-2t,1-t),=(1-2t)(5-2t)+(7-t)(1-t)=5t2-20t+12=5(t-2)2-8,当t=2时,取得最小值,此时=(4,2).(2)当t=2时,=(-3,5),=(1,-1).所以||=,||==-3-5=-8.cos∠ACB==-.
