【优化方案】2016高中数学第二章平面向量3.1数乘向量训练案知能提升新人教A版必修4[A.基础达标]1．已知向量a，b满足：|a|＝3，|b|＝5，且a＝λb，则实数λ＝()A.B．C．±D．±解析：选C.因为|a|＝3，|b|＝5，a＝λb，所以|a|＝|λ||b|，即3＝5|λ|，所以|λ|＝，λ＝±.2.如图所示，已知AB＝2BC，OA＝a，OB＝b，OC＝c，则下列等式中成立的是()A．c＝b－aB．c＝2b－aC．c＝2a－bD．c＝a－b解析：选A.OC＝OA＋AC＝OA＋3BC＝OA＋3(OC－OB)，所以OC＝OB－OA，即c＝b－a.3．设e1，e2是两个不共线的向量，若向量m＝－e1＋ke2(k∈R)与向量n＝e2－2e1共线，则()A．k＝0B．k＝1C．k＝2D．k＝解析：选D.将k的值逐一代入检验，当k＝0，1和2时m与n均不共线，当k＝时，m＝－e1＋e2，n＝－2e1＋e2，此时n＝2m，故m，n共线．4．设M是平行四边形ABCD的对角线的交点，O为任意一点，则OA＋OB＋OC＋OD＝()A.OMB．2OMC．3OMD．4OM解析：选D.OA＋OB＋OC＋OD＝OM＋MA＋OM＋MB＋OM＋MC＋OM＋MD，而MA＋MC＝0，MB＋MD＝0，故OA＋OB＋OC＋OD＝4OM.5．在△ABC中，点P是AB上一点，且CP＝CA＋CB，又AP＝tAB，则实数t的值为()A.B．C.D．解析：选A.由题意可得AP＝CP－CA＝CA＋CB－CA＝(CB－CA)＝AB，又AP＝tAB，所以t＝.6．已知x，y是实数，向量a，b不共线，若(x＋y－1)a＋(x－y)b＝0，则x＝________，y＝________．解析：由(x＋y－1)a＋(x－y)b＝0，且向量a，b不共线，得解得答案：7．在△ABC所在平面上有一点，满足PA＋PB＋PC＝AB，则△PAB与△ABC的面积之比是________．解析：PA＋PB＋PC＝AB＝PB－PA，即PC＝－2PA，所以＝，所以＝.答案：1∶38．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，AB＋AD＝λAO，则λ＝________．解析：由向量加法的平行四边形法则，得AB＋AD＝AC.又O是AC的中点，所以AC＝2AO，所以AC＝2AO，所以AB＋AD＝2AO.又AB＋AD＝λAO，所以λ＝2.答案：29．如图，在△ABC中，D，E分别为AC，AB边上的点，＝＝，记BC＝a，CA＝b，求证：DE＝(b－a)．证明：因为AE＝AB＝(CB－CA)＝(－a－b)，AD＝AC＝－b，所以DE＝AE－AD＝－a－b＋b＝(b－a)．10．已知非零向量e1，e2，a，b满足a＝2e1－e2，b＝ke1＋e2.(1)若e1与e2不共线，a与b共线，求实数k的值；1(2)是否存在实数k，使得a与b不共线，e1与e2共线？若存在，求出k的值，否则说明理由．解：(1)由a＝λb，得2e1－e2＝λke1＋λe2，而e1与e2不共线，所以⇒k＝－2.(2)不存在．若e1与e2共线，则e2＝λe1，有因为e1，e2，a，b为非零向量，所以λ≠2且λ≠－k，所以a＝b，即a＝b，这时a与b共线，所以不存在实数k满足题意．[B.能力提升]1．O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足OP＝OA＋λ(AB＋AC)，λ∈[0，＋∞)，则P的轨迹一定通过△ABC的()A．外心B．内心C．重心D．垂心解析：选C.因为OP＝OA＋λ(AB＋AC)，λ∈[0，＋∞)，所以AP＝λ(AB＋AC)，λ∈[0，＋∞)，即AP与AB＋AC共线，而AB＋AC是以AB，AC为邻边的平行四边形的对角线表示的向量，而对角线与BC的交点是中点，所以P的轨迹一定通过△ABC的重心．2．对于△ABC内部一点O，存在实数λ，使得OA＋OB＝λ(OA＋OC)成立，则△OBC与△ABC的面积之比是()A．1∶2B．1∶1C．1∶3D．2∶3解析：选A.如图，设D，E分别是AB，AC的中点，以OA，OB为邻边作▱OAGB，以OA，OC为邻边作▱OAFC，则OA＋OB＝OG＝2OD，OA＋OC＝OF＝2OE，因为OA＋OB＝λ(OA＋OC)，所以OD＝λOE，所以点D，O，E三点共线，所以点O在直线DE上，又因为D，E分别为AB，AC的中点，所以△OBC与△ABC的面积之比为1∶2.3．已知P1P＝PP2，若PP1＝λP1P2，则λ＝________．解析：如图，因为P1P＝PP2，所以点P在线段P1P2上，且＝.所以PP1与P1P2反向，且＝，所以PP1＝－P1P2，故λ＝－.答案：－4．在平行四边形ABCD中，AB＝e1，AC＝e2，NC＝AC，BM＝MC，则MN＝________(用e1，e2表示)．解析：因为NC＝AC＝e2，所以CN＝－e2，因为BM＝MC，BM＋MC＝BC＝AC－AB＝e2－e1，所以MC＝(e2－e1)，所以MN＝MC＋CN＝(e2－e1)－e2＝－e1＋e2.答案：－e1＋e25．已知O，A，M，B为平面上四点，且OM＝λOB＋(1－λ)OA(λ∈R，λ≠1，λ≠0)．(1)求证：A...
