高中数学 第二章 平面向量 2.6 平面向量数量积的坐标表示例题与探究（含解析）北师大版必修4-北师大版高一必修4数学试题VIP免费

2.6平面向量数量积的坐标表示典题精讲例1湖北高考卷，理1)已知向量a=（,1），b是不平行于x轴的单位向量，且a·b=，则b等于（）A.（,）B.（,）C.（）D.(1,0)思路解析：方法一（待定系数法）：设b=(x,y)(x≠y)，则依题意有解得方法二（代入验证法）：将四个选项逐一验证，仅有选项B符合题意.答案：B绿色通道：已知向量的坐标时，通常利用向量数量积的坐标表示来解决有关向量问题.变式训练1已知|a|=,b=(-2,3),且a⊥b，则a的坐标为_______________.思路解析：利用向量的长度公式和垂直的条件列出关于向量ab的坐标的方程，然后求解.设a=(x,y)，则x2+y2=52.由a⊥b得-2x+3y=0.由以上两个条件得答案：(6，4)或(-6，-4)变式训练2已知向量a与b同向，b=(1,2),a·b=10.(1)求向量a的坐标；(2)若c=(2,-1)，求(b·c)a.思路分析：由向量a与b同向可得a=λb，且λ＞0.解：(1)∵向量a与b同向，b=（1，2），∴a=λb=（λ，2λ）.又∵a·b=10，∴有λ+4λ=10.解得λ=2＞0.符合向量a与b同向的条件,∴a=（2，4）.(2)∵b·c=1×2+2×(-1)=0,∴(b·c)a=0.例2(湖北高考卷，理19)如图2-6-2，在Rt△ABC中，已知BC=a，若长为2a的线段以点A为中点，问与的夹角θ取何值时，·的值最大？并求出这个最大值.图2-6-2思路分析：可以用分解向量法和建立直角坐标系法解决.解法一（基向量法）：∵⊥，∴·=0.∵=-,=-,=-,∴·=(-)·(-)=·-·-·+·=-a2-·+·=-a2+·(-)=-a2+·=-a2+a2cosθ.故当cosθ=1即θ=0(与方向相同)时,·最大,其最大值为0.解法二（坐标法）：以A为原点，以AB所在直线为x轴建立如图2-6-3所示的平面直角坐标系.设|AB|=c,|AC|=b,则A(0,0),B(c,0),C(0,b),且|PQ|=2a,|BC|=a.设点P的坐标为（x,y）,则Q（-x,-y）.图2-6-3∴=(x-c,y),=(-x,-y-b),=(-c,b),=(-2x,-2y).∴·=(x-c)(-x)+y(-y-b)=-(x2+y2)+cx-by.∵cosθ=∴cx-by=a2cosθ.∴·=-a2+a2cosθ.故当cosθ=1,即θ=0,(与方向相同)时,·最大,其最大值为0.绿色通道解决向量问题的两种方法：①基向量法：选择不共线（最好垂直）的两个向量为平面向量基底，其他向量均用基底表示，将问题转化为向量的分解及其有关运算或其他问题；②坐标法：选择互相垂直的两个向量的基线为坐标轴，建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算解决向量的有关问题.变式训练1如图2-6-4，正方形OABC的边长为1，点D、E分别为AB、BC的中点，试求cos〈,〉的值.思路分析：最优解法坐标法.解法一（坐标法）：如图2-6-4所示.图2-6-4以OA和OC分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则有A=(1,0)，C=(0,1),B=(1,1)，∴=（1，），OE=（，1），故cos∠DOE=.解法二(基向量法)：以和为基向量建立平面向量基底.设=a,=b，则有|a|=|b|=1，〈a,b〉=，a·b=0.∴=+=+=+=a+b，+=+=a+b.∴||=，||2=,·=(a+b)·(a+b)=a2+a·b＋b2=1.∴cos∠DOE=.变式训练2已知a,b是两个非零向量，同时满足|a|=|b|=|a-b|，求a与a+b的夹角.思路分析：可以由条件求出a·(a+b)及|a+b|代入夹角公式.也可以运用向量加法的几何意义，构造平行四边形求解.解法一：根据|a|=|b|，有|a|2=|b|2，又由|b|=|a-b|，得|b|2=|a|2-2a·b+|b|2，∴a·b=|a|2.而|a+b|2=|a|2+2a·b+|b|2=3|a|2,∴|a+b|=|a|.设a与a+b的夹角为θ，则cosθ=，∴θ=30°.解法二：设向量a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，∵|a|=|b|，∴x12+y12=x22+y22.由|b|=|a-b|，得x1x2+y1y2=(x12+y12)，即a·b=(x12+y12).由|a+b|2=2(x12+y12)+2×(x12+y12)=3(x12+y12)得|a+b|=(x12+y12).设a与a+b的夹角为θ，则cosθ=，∴θ=30°.解法三：在平面内任取一点O，作=a，=b，以，为邻边作平行四边形.∵|a|=|b|，即||=||.∴OACB为菱形，OC平分∠AOB，这时=a+b，=a-b.而|a|=|b|=|a-b|，即||=||=||.∴△AOB为正三角形，则∠AOB=60°，于是∠AOC=30°，即a与a+b的夹角为30°.问题探究问题在直角坐标系中，将单位向量旋转90°到向量的位置，这两个向量有何关系？这两个向量的坐标之间有什么特殊联系？这种联系有什么作用？导思：探究方法：画图，结合图形观察，通过归纳、猜想、证明得到它们之间的关系.探究：如图2-6-5所示，在单位圆中，设=(a1,a2)，=(x,y)，图2-6-5∵⊥，且||=||=1，∴有整理得或即当按逆时针方向旋转90°时，=(-a2,a1)，当按顺时针方向旋转90°时，=(a2,-a1).也就是把原向量的横、纵坐标交换，并在其中一个前添加负号.这一结论可以证明三角函数的诱导公式.例如：求证：cos(α+90°)=-sinα,sin(α+90°)=cosα.证明：设α的终边与单位圆交于点A，则A(cosα,sinα)，所以=(cosα,sinα).∴||=1，即是单位向量.当按逆时针方向旋转90°后到，则点B(cos(α+90°),sin(α+90°))，由结论可得B(-sinα,cosα).∴(cos(α+90°),sin(α+90°))=(-sinα,cosα).∴cos(α+90°)=-sinα，sin(α+90°)=cosα.