2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角更上一层楼基础•巩固1.已知平面向量a=(3，1)，b=(x，-3)，且a⊥b，则x等于()A.3B.1C.-1D.-3思路分析:由3x+1×(-3)=0得x=1.答案:B2.已知点A(1，0)，B(5，-2)，C(8，4)，D(4，6)，则四边形ABCD为()A.正方形B.菱形C.梯形D.矩形思路分析:如图，=(4，-2)，=(4，-2)，∴=.∴四边形ABCD为平行四边形.又·=(4，-2)·(3，6)=4×3+(-2)×6=0，∴⊥.又||≠||，∴四边形为矩形.答案:D3.已知m=(1，0)，n=(1，1)，且m+kn恰好与m垂直，则实数k的值为()A.1B.-1C.1或-1D.以上都不对思路分析:m+kn=(1，0)+k(1，1)=(1+k，k)，∵m+kn与m垂直，∴(m+kn)·m=0，即(1+k，k)·(1，0)=0.∴(1+k)×1+k×0=0，得k=-1.答案:B4.设m、n是两个非零向量，且m=(x1，y1)，n=(x2，y2)，则以下等式中与m⊥n等价的个数有()①m·n=0②x1x2=-y1y2③|m+n|=|m-n|④|m+n|=A.1B.2C.3D.4思路分析:由两非零向量垂直的条件可知①②正确，由模的计算公式与向量垂直的条件可知③④也正确.答案:D5.点A(-2，0)，B(3，0)，动点P(x，y)满足·=x2，则点P的轨迹方程是__________.思路分析:∵=(-2-x，-y)，=(3-x，-y)，∴(-2-x)(3-x)+(-y)·(-y)=x2.∴y2=x+6.答案:y2=x+66.已知向量a和b的夹角为120°，且|a|=2，|b|=5，则(2a-b)·a=________.思路分析:(2a-b)·a=2a2-b·a=2×22-5×2×cos120°=8+5×2×=13.答案:13综合•应用7.△ABC中，A(5，-1)，B(-1，7)，C(1，2).求：(1)BC边上的中线AM的长；(2)∠CAB的平分线AD的长；(3)cos∠ABC的值.解:(1)∵M的横、纵坐标分别为、，∴M(0，).∴=(0，)-(5，-1)=(-5，).∴||=.(2)||=，||=，∵D分的比为2，∴xD=，yD=.∴||=.(3)∠ABC是与的夹角，而=(6，-8)，=(2，-5).cos∠ABC=.8.如图2-4-10，P是正方形ABCD的对角线BD上的任意一点，四边形PECF是矩形，用向量法证明PA=EF且PA⊥EF.图2-4-10证明:(1)以点D为坐标原点，DC所在直线为x轴，建立如图所示的坐标系，设正方形边长为1及P(λ，λ)(0<λ<1)，则A(0，1)，E(λ，0)，F(1，λ)，∴，.∴，即PA=EF.(2)由=(-λ，1-λ)·(1-λ，λ)=(-λ)×(1-λ)+(1-λ)·λ=-λ+λ2+λ-λ2=0，∴，即PA⊥EF.回顾•展望9.已知直角三角形的两直角边长分别为4和6，试用向量求两直角边中线所成钝角的余弦值.思路分析:本题考虑用向量的几何法不易入手，故考虑用向量的坐标法，将直角三角形放到直角坐标系中，写出点的坐标，然后利用向量的坐标运算求解.解:建立如图所示的坐标系.则A(4,0),B(0,6),E(2,0),F(0,3).=(-4,3),=(2,-6),||=5,||=,∴cos∠AO′B=.∴两中线所成钝角的余弦值为.
