2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义主动成长夯基达标1.有四个式子:①0·a=0;②0·a=0;③0-=;④|a·b|=|a|·|b|.其中正确的个数为()A.4B.3C.2D.1解析：0·a表示零向量与任意向量a的数量积,数量积是一个数,而不是向量;0·a表示实数与向量a的积,其结果应为零向量,而不是零;对a、b数量积的定义式两边取绝对值,得|a·b|=|a|·|b||cosθ|,只有θ=0,π时,|a·b|=|a|·|b|才成立.只有0-=-=正确.答案：D2.在△ABC中,=a,=b,且a·b＞0,则△ABC是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定解析：由两向量夹角的概念,a与b的夹角应为180°-∠B.因为a·b=|a|·|b|cos(180°-B)=-|a|·|b|cosB＞0,所以cosB＜0.又因为∠B∈(0°,180°),所以∠B为钝角.所以△ABC为钝角三角形.答案：C3.已知a、b均为单位向量,它们的夹角为60°,那么|a+3b|等于()A.B.C.D.4解析：|a+3b|2=(a+3b)2=a2+9b2+6|a|·|b|cos60°=13.答案：C4.若a为非零向量,a·b=0,则满足此条件的向量b有()A.1个B.2个C.有限个D.无限个解析：由数量积性质知a·b=0a⊥b,而垂直于a的向量有无限多个.答案：D5.|a|=4,a与b的夹角为30°,则a在b方向上的投影为___________.解析：a1=|a|cos30°=4×.答案：6.边长为的等边△ABC中,设=c,=a,=b,则a·b+b·c+c·a=_____________.解析：由题意知〈a,b〉=,〈b,c〉=,〈c,a〉=,∴a·b+b·c+c·a=3|a|·|b|cos=3×2×(-)=-3.答案：-37.对任意向量a、b,|a|·|b|与a·b的大小关系是________________.解析：由数量积定义a·b=|a|·|b|cos〈a,b〉,由于cos〈a,b〉∈［-1,1］,所以|a|·|b|≥a·b.答案：|a|·|b|≥a·b8.已知△ABC中,a=5,b=8,∠C=60°,求·.解：因为||=a=5,||=b=8,〈,〉=180°-∠C=180°-60°=120°,所以·=||·||·cos〈,〉=5×8cos120°=-20.9.已知a、b是非零向量,当a+tb(t∈R)的模取最小值时,(1)求t的值;(2)已知a与b共线同向,求证:b⊥(a+tb).(1)解：令m=|a+tb|,θ为a、b夹角,则m2=|a|2+2a·tb+t|b|2=t2|b|2+2t|a|·|b|cosθ+|a|2=|b|2(t+cosθ)2+|a|2sin2θ.∴当t=-cosθ时,|a+tb|有最小值|a|2sinθ.(2)证明:∵a与b共线且方向相同,故cosθ=1.∴t=-.∴b·(a+tb)=a·b+t|b|2=|a|·|b|-|a|·|b|=0.∴b⊥(a+tb).10.设平面内两向量a、b互相垂直,且|a|=2,|b|=1,又k与t是两个不同时为零的实数.(1)若x=a+(t-3)b与y=-ka+tb垂直,求k关于t的函数关系式k=f(t);(2)求函数k=f(t)的最小值.解：(1)∵a⊥b,∴a·b=0.又x⊥y,∴x·y=0,即［a+(t-3)b］·［-ka+tb］=0.-ka2-k(t-3)a·b+ta·b+t(t-3)b2=0.∵|a|=2,|b|=1,∴-4k+t2-3t=0,即k=(t2-3t).(2)由(1),知k=(t2-3t)=(t-)2-,当t=时,函数最小值为-.走近高考11.(2004浙江高考)已知平面上三点A、B、C满足||=3,||=4,||=5,则·+·+·=______________.解析：因为||2+||2=||2,所以△ABC为直角三角形,其中∠B=90°.所以·+·+·=0+||·||cos(π-C)+||·||·cos(π-A)=-4×5×-5×3×=-25.答案：-2512.(经典回放)已知直线ax+by+c=0与圆x2+y2=1相交于A、B两点,且||=,则·=__________.解析：依题意作出示意图,由垂径定理易知∠AOB=120°,∴·cos∠AOB=1·1·cos120°=-.答案：-
