高中数学 第二章 平面向量 2.4 向量的应用例题与探究 新人教B版必修4-新人教B版高一必修4数学试题VIP免费

2.4向量的应用典题精讲例1用向量法证明平行四边形两对角线的平方和等于四条边的平方和.思路分析:考查应用向量解决几何问题.把平行四边形的边和对角线的长看成向量的长度，转化为证明向量长度之间的关系.基向量法和坐标法均可解决.解：已知：四边形ABCD是平行四边形，求证：||2+||2=2||2+2||2.证法一：如图2-4-1所示，设=a,=b，图2-4-1∴=a+b，=b-a.∴||2=(a+b)2=a2+2a·b+b2，||2=(b-a)2=a2-2a·b+b2.∴||2+||2=2a2+2b2.又 2||2+2||2=2a2+2b2，∴||2+||2=2||2+2||2，即平行四边形两对角线的平方和等于四条边的平方和.证法二：如图2-4-2所示，以A为原点，以AB所在直线为x轴，建立直角坐标系.图2-4-2设A(0，0)、D(a，b)、B(c，0)，∴==(c，0)+(a，b)=(a+c，b)，==(a，b)-(c，0)=(a-c，b).∴||2=(c+a)2+b2，||2=(a-c)2+b2.∴||2+||2=2a2+2c2+2b2.又 2||2+2||2=2||2+2||2=2a2+2c2+2b2，∴||2+||2=2||2+2||2，即平行四边形两对角线的平方和等于四条边的平方和.绿色通道:(1)向量法解决几何问题的步骤：①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；②通过向量运算(有基向量法和坐标法两种)，研究几何元素之间的关系；③把运算结果“翻译”成几何关系.这是用向量法解决平面几何问题的“三步曲”，又简称为：一建二算三译；也可说成为：捡便宜(建算译).(2)平面几何经常涉及距离、夹角的问题.而平面向量的运算,特别是数量积主要涉及向量的模及向量的夹角.因此,我们可以用向量方法解答几何问题.在具体问题中,先用向量表示相应的点、线段、夹角等几何元素,然后通过向量的运算,特别是数量积来研究点、线段等几何元素之间的关系,最后将结论转化为几何问题.变式训练如图2-4-3所示，AC、BD是梯形ABCD的对角线，BC＞AD，E、F分别为BD、AC的中点.试用向量证明EF∥BC.图2-4-3思路分析:证明EF∥BC，转化为证明∥，选择向量基底或建立坐标系均可解决.证法一：(基向量法)设=a，=b，则有=b-a. ∥，∴存在实数λ＞1使=λ=λb. E为BD的中点，∴==(b-a). F为AC的中点，∴+=+()=()=()=(λb-a).∴=(λb-a)-(b-a)=(λ-)b.∴=［(λ-)·］.∴∥.∴EF∥BC.证法二：(坐标法)如图2-4-4所示，以BC为x轴，以B为原点建立平面直角坐标系，则B(0，0).图2-4-4设A(a，b)，D(c，b)，C(d，0)，∴E(，)，F(，).∴=(，)-(，)=(，0)，=(d，0). ×0-d×0=0，∴∥.∴EF∥BC.例2如图2-4-5，一艘船从A点出发以2km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为2km/h，求船的实际航行速度的大小与方向(用与流速间的夹角表示).图2-4-5思路分析:考查向量在物理中的应用.船的实际航行速度是船的速度与水流速度的合速度，用平行四边形法则合成即可.解:设=a表示船垂直于对岸行驶的速度，=b表示水流的速度，以AD、AB为邻边作平行四边形ABCD，则就是船的实际航行速度,即=a+b， |a|=2，|b|=2,a·b=0，∴||2=(a+b)2=a2+2a·b+b2=16，即||=4. ·=(a+b)·b=a·b+b2=4，∴cos〈,〉===.又 0°≤〈,〉≤180°，∴〈,〉=60°，即船的实际航行速度的大小为4km/h，方向与水流速度间的夹角为60°.绿色通道:用向量法解决物理问题的步骤(类似于用向量方法解决平面几何问题的步骤)：(1)把物理问题中的量用向量来表示；(2)将物理问题转化为向量问题，通过向量运算解决数学问题；(3)把结果还原为物理问题.变式训练如图2-4-6所示，用两根绳子把重10N的物体W吊在水平杆子AB上，∠ACW=150°，∠BCW=120°,求A和B处所受力的大小.(忽略绳子的质量)图2-4-6思路分析:由于力和重量都是向量，求A和B处所受力的大小转化为求向量的模||和||.A和B处所受力的合力是10N，即物体W的重量，用平行四边形法则解决.解:由题意得四边形CEWF是矩形，则有,⊥，||=10，∠FCW=60°.∴·=0.∴||2=()2=||2+2·+||2.∴||2+||2=100.又 ·=0，〈，〉=60°，∴·=·(+)=+·=.∴cos〈，〉===.∴||=||=5，||=5，即A和B处所受力分别是5N和5N.例3(2006湖南高三百校第二次考试，文9)O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足λ()，λ∈［0，+∞),则P的轨迹一定通过△ABC的()A.外心B.垂心C.内心D.重心思路解析:本题...