2.3.2向量数量积的运算律课时过关·能力提升1.已知两个非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|,则下面结论正确的是()A.a∥bB.a⊥bC.|a|=|b|D.a+b=a-b解析:|a+b|2=|a|2+2a·b+|b|2,|a-b|2=|a|2-2a·b+|b|2.因为|a+b|=|a-b|,所以|a|2+2a·b+|b|2=|a|2-2a·b+|b|2,即2a·b=-2a·b,所以a·b=0,所以a⊥b.故选B.答案:B2.设向量a,b,c满足a+b+c=0,a⊥b,|a|=1,|b|=2,则|c|2等于()A.1B.2C.4D.5解析:由a+b+c=0得c=-(a+b),于是|c|2=|-(a+b)|2=|a|2+2a·b+|b|2=1+4=5.答案:D3.已知|a|=3,|b|=4,且(a+kb)⊥(a-kb),则实数k的值为()A.±B.±C.±D.±解析:由(a+kb)⊥(a-kb)知(a+kb)·(a-kb)=0,即|a|2-k2|b|2=0,因此9-16k2=0,所以k=±.答案:A4.已知a,b是非零向量,满足(a-2b)⊥a,(b-2a)⊥b,则a与b的夹角是()A.B.C.D.解析:由已知得(a-2b)·a=0,因此|a|2-2a·b=0.同理(b-2a)·b=0,即|b|2-2a·b=0,于是有|a|=|b|,且a·b=|a|2,从而cos
=,又∈[0,π],所以a与b的夹角为.答案:B5.如图,在菱形ABCD中,下列关系式不正确的是()A.B.()⊥()C.()·()=0D.解析:由于,所以,故D项不正确.答案:D6.如图,在△ABC中,AD⊥AB,,||=1,则等于()A.2B.C.D.解析:由图可得=()·.∵AD⊥AB,∴=0.又∵,∴)·=0+|2=.∴=0+.答案:D7.已知平面向量a,b满足|a|=1,|b|=2,a与b的夹角为,以a,b为邻边作平行四边形,则此平行四边形的两条对角线中较短的一条对角线的长度为.答案:8.已知a+b=2i-8j,a-b=-8i+16j,其中i·j=0,|i|=|j|=1,则a·b=.答案:-639.设O,A,B,C为平面上的四个点,=a,=b,=c,且a+b+c=0,a·b=b·c=c·a=-1,则|a|+|b|+|c|=.答案:310.在边长为1的等边三角形ABC中,设=2=3,则=.解析:由已知得),,所以)·-||2-=-.答案:-★11.设a⊥b,且|a|=2,|b|=1,k,t是两个不同时为零的实数.(1)若x=a+(t-3)b与y=-ka+tb垂直,求k关于t的函数关系式k=f(t);(2)求出函数k=f(t)的最小值.解:(1)∵a⊥b,∴a·b=0.又x⊥y,∴x·y=0,即[a+(t-3)b]·(-ka+tb)=0,∴-ka2-k(t-3)a·b+ta·b+t(t-3)b2=0.∵|a|=2,|b|=1,∴-4k+t2-3t=0,∴k=(t2-3t)(t≠0),即k=f(t)=(t2-3t)(t≠0).(2)由(1)知k=f(t)=(t2-3t)=,故函数k=f(t)的最小值为-.★12.已知|a|=,|b|=1,向量a与b的夹角为45°,求使向量(2a+λb)与(λa-3b)的夹角为锐角的λ的取值范围.解:设向量(2a+λb)与(λa-3b)的夹角为θ.∵两向量的夹角为锐角,∴>0,∴(2a+λb)·(λa-3b)>0,即2λa2+(λ2-6)a·b-3λb2>0.∵a2=|a|2=2,b2=|b|2=1,a·b=|a||b|cos45°=×1×=1,∴4λ+λ2-6-3λ>0,即λ2+λ-6>0,∴λ<-3或λ>2.设2a+λb=k(λa-3b)=kλa-3kb,∴∴λ2=-6,则λ不存在,即向量(2a+λb)与(λa-3b)不共线.∴使向量(2a+λb)与(λa-3b)的夹角为锐角的λ的取值范围为λ<-3或λ>2.
