2.2.3向量数乘运算及其几何意义(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．设P是△ABC所在平面内一点，BC＋BA＝2BP，则()A．PA＋PB＝0B．PC＋PA＝0C．PB＋PC＝0D．PA＋PB＋PC＝0【解析】因为BC＋BA＝2BP，所以点P为线段AC的中点，故选项B正确．【答案】B2．已知向量a，b，且AB＝a＋2b，BC＝－5a＋6b，CD＝7a－2b，则一定共线的三点是()A．A，B，DB．A，B，CC．B，C，DD．A，C，D【解析】BD＝BC＋CD＝(－5a＋6b)＋(7a－2b)＝2a＋4b＝2(a＋2b)＝2AB，所以A，B，D三点共线．【答案】A3．若5AB＋3CD＝0，且|AD|＝|BC|，则四边形ABCD是()【导学号：70512029】A．平行四边形B．菱形C．矩形D．等腰梯形【解析】由5AB＋3CD＝0知，AB∥CD且|AB|≠|CD|，故此四边形为梯形，又|AD|＝|BC|，所以梯形ABCD为等腰梯形．【答案】D4．已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边中点，且2OA＋OB＋OC＝0，那么()A．AO＝ODB．AO＝2ODC．AO＝3ODD．2AO＝OD【解析】由2OA＋OB＋OC＝0，得OB＋OC＝－2OA，又因为OB＋OC＝2OD，所以AO＝OD.【答案】A5.如图2219，正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点，那么EF＝()图2219A．AB－ADB．AB＋ADC．AB＋DAD．AB－AD【解析】EC＝AB，CF＝CB＝－AD，所以EF＝EC＋CF＝AB－AD.【答案】D二、填空题6．已知P1P＝PP2，若PP1＝λP1P2，则λ等于________．【解析】因为P1P＝PP2，所以－PP1＝(PP1＋P1P2)，即PP1＝－P1P2＝λP1P2，所以λ＝－.【答案】－7．若AP＝tAB(t∈R)，O为平面上任意一点，则OP＝________.(用OA，OB表示)【解析】AP＝tAB，OP－OA＝t(OB－OA)，OP＝OA＋tOB－tOA＝(1－t)OA＋tOB.【答案】(1－t)OA＋tOB三、解答题8.如图2220所示，OADB是以向量OA＝a，OB＝b为邻边的平行四边形．又BM＝BC，CN＝CD，试用a，b表示OM，ON，MN.【导学号：00680044】图2220【解】BM＝BC＝BA＝(OA－OB)＝(a－b)，所以OM＝OB＋BM＝b＋a－b＝a＋b，CN＝CD＝OD，所以ON＝OC＋CN＝OD＋OD＝OD＝(OA＋OB)＝(a＋b)＝a＋b.MN＝ON－OM＝(a＋b)－a－b＝a－b.9．设a，b是两个不共线的非零向量，记OA＝a，OB＝tb(t∈R)，OC＝(a＋b)，那么当实数t为何值时，A，B，C三点共线？【解】∵OA＝a，OB＝tb，OC＝(a＋b)，∴AB＝OB－OA＝tb－a，AC＝OC－OA＝(a＋b)－a＝b－a.∵A，B，C三点共线，∴存在实数λ，使AB＝λAC，即tb－a＝λ.由于a，b不共线，∴解得故当t＝时，A，B，C三点共线．[能力提升]1．已知平面上不共线的四点O，A，B，C，若OA－3OB＋2OC＝0，则＝________.【解析】∵OA－3OB＋2OC＝0，∴OB－OA＝2(OC－OB)，∴AB＝2BC，∴＝2.【答案】22．点E，F分别为四边形ABCD的对角线AC，BD的中点，设BC＝a，DA＝b，试用a，b表示EF.【解】如图，取AB的中点P，连接EP，FP，在△ABC中，因为EP是△ABC的中位线，所以PE＝BC＝a，在△ABD中，因为FP是△ABD的中位线，所以PF＝AD＝－b，在△EFP中，EF＝EP＋PF＝－a－b＝－(a＋b)．
