向量数乘运算及其几何意义一、选择题(每小题3分，共18分)1.(2014·淄博高一检测)下列各式计算正确的是()A.2(a+b)+c=2a+b+cB.3(a+b)+3(a-b)=0C.+=2D.a+b+3a-5b=4a-4b【解析】选D.a+b+3a-5b=a+3a+(b-5b)=4a-4b.【变式训练】下列命题中正确的有()①(-5)(6a)=-30a；②7(a+b)+6b=7a+13b；③若a=m-n，b=3(m-n)，则a，b共线；④(a-5b)+(a+5b)=2a，则a，b共线.A.1个B.2个C.3个D.4个【解析】选C.由向量的数乘知①②正确，③中b=3a知③正确，④中(a-5b)+(a+5b)=2a不能体现a，b的关系.2.若=5e1，=-7e1，且||=||，则四边形ABCD是()A.平行四边形B.等腰梯形C.菱形D.梯形但两腰不相等【解析】选B.因为=5e1，=-7e1，所以∥且||≠||，故四边形ABCD为梯形，而||=||，所以是等腰的.3.(2014·六安高一检测)在矩形ABCD中，O是对角线的交点，若=5e1，=3e2，则=()A.(5e1+3e2)B.(5e1-3e2)C.(3e2-5e1)D.(5e2-3e1)【解析】选A.==(+)=(+)=(5e1+3e2).【变式训练】在平行四边形ABCD中，=e1，=e2，则=()A.(e2-e1)B.e2-2e1C.e1-e2D.2e1-e2【解析】选A.因为=，所以==(-)=(e2-e1).4.设D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB的中点，且=a，=b，则用向量a，b表示应为()A.-a-bB.a+bC.-a+bD.-a-b【解析】选C.因为=-(+)=-(a+b)，=+=+=b+[-(a+b)]=-a+b.5.(2014·上饶高一检测)已知在△ABC中，点M满足++=0.若存在实数m使得+=m成立，则m的值为()A.2B.3C.4D.5【解析】选B.因为+=m，所以-+-=-m，即(m-2)++=0，又++=0，所以m-2=1，即m=3.6.(2014·长沙高一检测)设e1，e2是两个不共线的向量，若向量m=-e1+ke2(k∈R)与向量n=e2-2e1共线，则()A.k=0B.k=1C.k=2D.k=【解题指南】解答本题的关键是根据e1，e2不共线，分析是否可以找到实数λ，使m=λn.【解析】选D.由题意m=λn，所以解得k=.【变式训练】a=e1+2e2，b=3e1-4e2，且e1，e2共线，则a与b()A.共线B.不共线C.相等D.可能共线也可能不共线【解析】选A.因为e1，e2共线，所以存在λ使得e1=λe2，故a=(λ+2)e2，b=(3λ-4)e2，故a与b共线.二、填空题(每小题4分，共12分)7.(4a+b)-3(b-a)=.【解析】原式=2a+b-3b+3a=5a-b.答案：5a-b8.(2014·益阳高一检测)设a，b是不共线的两个向量，已知=2a+kb，=a+b，=a-2b，若A，B，D三点共线，则k的值为.【解题指南】解决三点共线，关键在于找到有公共点的两个向量共线.【解析】由已知，必存在实数λ，使=λ.而=+=2a-b，所以2a+kb=λ(2a-b)=2λa-λb，于是解得答案：-19.若=t(t∈R)，O为平面上任意一点，则=(用，表示).【解题指南】首先利用向量减法的几何意义将和用，，表示，然后通过“移项”和数乘向量的运算律用，表示出.【解析】=t，-=t(-)，=+t-t=(1-t)+t.答案：(1-t)+t【变式训练】如图所示，已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边的中点，且2++=0，则=.【解析】因为D为BC的中点，所以+=2，即2+2=0，所以=-.答案：-三、解答题(每小题10分，共20分)10.(2014·商丘高一检测)如图，在△ABC中，D，E分别为AC，AB边上的点，==，记=a，=b.求证：=(b-a).【证明】因为==(-)=(-a-b)，==-b，所以=-=(-a-b)-=(b-a).11.(2014·肇庆高一检测)已知O，A，M，B为平面上四点，且=λ+(1-λ)(λ∈R，λ≠1，λ≠0).(1)求证：A，B，M三点共线.(2)若点B在线段AM上，求实数λ的范围.【解题指南】(1)先证向量共线，再证点共线.解决向量共线，关键在于找到实数λ，使b=λa.(2)结合(1)A，B，M三点共线，则=λ，结合点B在线段AM上，确定λ的范围.【解析】(1)因为=λ+(1-λ)，所以=λ+-λ，-=λ-λ，即=λ，又λ∈R，λ≠1，λ≠0且，有公共点A，所以A，B，M三点共线.(2)由(1)知=λ，若点B在线段AM上，则，同向且||>||(如图所示).所以λ>1.一、选择题(每小题4分，共16分)1.下列说法中正确的是()A.λa与a的方向不是相同就是相反B.若a，b共线，则b=λaC.若|b|=2|a|，则b=±2aD.若b=±2a，则|b|=2|a|【解析】选D.A.错误.当λ=0时，此说法不正确；B.错误.当a=0，b≠0时，不存在实数λ使b=λa；C.错误.若|b|=2|a|，则b与a未必共线；D.正确.若b=±2a，则|b|=2|a|.2.(2014·百色高一检测)若O为平行四边形ABCD的中心，=4e1，=6e2，则6e2-4e1等于()A.B.C.D.【解析】选B.6e2-4e1=-=-=.3....
