向量加法运算及其几何意义一、选择题(每小题4分，共12分)1.对任意四边形ABCD，下列式子中不等于的是()A.+B.++C.++D.++【解析】选C.+=.++=+=，++=+=，++=++=.2.(2014·延安高一检测)如图所示，在正六边形ABCDEF中，若AB=1，则|++|=()A.1B.2C.D.【解析】选B.|++|=|++|=||=2.3.(2014·内江高一检测)如图所示，在平行四边形ABCD中，O是对角线的交点，下列结论①=，=；②+=；③+=+；④++=中不正确的是()A.①②③④B.①②④C.②③④D.①②③【解析】选B.因为=，=，故①错；而②显然错；③正确；因为++=，故④错.【变式训练】在平行四边形ABCD中，++等于()A.B.C.D.【解析】选D.++=.二、填空题(每小题4分，共8分)4.(2013·四川高考)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，+=λ，则λ=.【解题指南】根据向量的平行四边形法则求解.【解析】在平行四边形ABCD中，+=，而=2，所以λ=2.答案：25.(2014·衡阳高一检测)已知|a|=3，|b|=5，则向量a+b模长的最大值是.【解析】当a，b同向时，向量a+b模长取最大值，所以|a+b|max=|a|+|b|=3+5=8.答案：8三、解答题(每小题10分，共20分)6.如图，已知向量a，b，c，d，(1)求作a+b+c+d.(2)设|a|=2，e为单位向量，求|a+e|的最大值.【解析】(1)在平面内任取一点O，作=a，=b，=c，=d，则=a+b+c+d.(2)在平面内任取一点O，作=a，=e，则a+e=+=，因为e为单位向量，所以点B在以A为圆心的单位圆上(如图所示)由图可知当点B在点B1时，O，A，B1三点共线，||即|a+e|最大，最大值是3.【举一反三】本题中，求|a+e|的最小值.【解析】由图示可知当点B在点B2时，O，A，B2三点共线，||即|a+e|最小，最小值是1.7.(2014·台州高一检测)在某地区地震后，一架救援直升飞机从A地沿北偏东60°方向飞行了40km到B地，再由B地沿正北方向飞行40km到达C地，求此时直升飞机与A地的相对位置.【解析】如图所示，设，分别是直升飞机两次位移，则表示两次位移的合位移，即=+，在直角三角形ABD中，||=20km，||=20km，所以||==40(km)，∠CAD=60°，即此时直升飞机位于A地北偏东30°，且距离A地40km处.一、选择题(每小题4分，共8分)1.(2014·塘沽高一检测)已知向量a∥b且|a|>|b|，则a+b的方向()A.与向量a方向相同B.与向量a方向相反C.与向量b方向相同D.与向量b方向相反【解析】选A.因为|a|>|b|，且a∥b，所以a+b的方向与向量a方向相同.【变式训练】向量a，b皆为非零向量，下列说法不正确的是()A.a，b反向，且|a|>|b|，则a+b与a同向B.a，b反向，且|a|>|b|，则a+b与b同向C.a，b同向，则a+b与a同向D.a，b同向，则a+b与b同向【解析】选B.a，b反向，且|a|>|b|，则a+b应该与a同向，故B错误.2.(2014·临汾高一检测)若在△ABC中，=a，且|a|=|b|=1，|a+b|=，则△ABC的形状是()A.正三角形B.锐角三角形C.斜三角形D.等腰直角三角形【解析】选D.因为|a|2+|b|2=|a+b|2，且|a|=|b|=1，所以△ABC是等腰直角三角形.二、填空题(每小题5分，共10分)3.(2014·本溪高一检测)已知△ABC是正三角形，给出下列等式：①|+|=|+|；②|+|=|+|；③|+|=|+|；④|++|=|++|.其中正确的有.(写出所有正确等式的序号)【解析】+=，+=，而||=||，故①正确.|+|≠||，故②错，③④正确.答案：①③④【变式训练】已知点G是△ABC的重心，则++=.【解析】设D为BC边的中点，则=-2，而+=2，故++=0.答案：04.(2014·邯郸高一检测)船在静水中的速度为6km/h，水流速度为3km/h，当船以最短时间到达对岸时，则船的实际速度的大小为，船的实际速度方向与水流速度的夹角的正弦值为.【解析】速度v==3(km/h)，设实际行驶的方向与水流速度的夹角为α，则sinα==.答案：3km/h三、解答题(12分)5.如图，△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，求证：||2=|+|2+|+|2.【证明】如图，由于∠BAC=90°，AD⊥BC，因此，若以DB，DA为邻边作矩形ADBE，则||=||，且+=，所以|+|2=||2=||2.同理|+|2=||2，所以|+|2+|+|2=||2+||2=||2.【变式训练】如图所示，P，Q是三角形ABC上两点，且BP=QC.求证：+=+.【解题指南】结合图形，以三角形法则为工具，以与的关系为纽带来解题.【证明】=+，=+，所以+=+++，又因为与大小相等，方向相反，所以+=0，故+=++0=+.
