2.2.2向量减法运算及其几何意义选题明细表知识点、方法题号化简向量关系式1,3,6用已知向量表示其他向量2,7,8向量加减法在平面几何中的应用9,11,12综合问题4,5,10,13基础巩固1.化简-+-得(D)(A)(B)(C)(D)0解析:-++=+=0.故选D.2.在△ABC中,D,E,F分别为AB,BC,CA的中点,则-等于(A)(A)(B)(C)(D)解析:由题意知=,所以-=-=.故选A.3.化简以下各式:①-+-;②-+;③-+-.结果为零向量的个数是(C)(A)1(B)2(C)3(D)0解析:对①,-+-=(+)-(+)=-=0;对②,-+=+=0;对③,-+-=++=+=0.故选C.4.(2018·拉萨市高一期中)已知a,b为两个单位向量,则下列四个命题中正确的是(D)(A)a=b(B)若a∥b,则a=b(C)a=b或a=-b(D)若a=b,b=c,则a=c解析:对于A,单位向量的模都是1,但方向不一定相同,错误;对于B,若a∥b,则a=b或a=-b,错误;对于C,当a∥b时,才有a=b或a=-b,错误;对于D,由向量相等的定义知正确.故选D.5.在平行四边形ABCD中,若=a,=b,且|a+b|=|a-b|,则四边形ABCD的形状是.解析:由平行四边形法则知|a+b|,|a-b|分别表示对角线AC,BD的长,当||=||时,平行四边形ABCD为矩形.答案:矩形6.D,E,F分别是△ABC边AB,BC,CA的中点,则等式:(1)+-=0;(2)+-=0;(3)+-=0;(4)+-=0.其中正确的序号为.解析:(1)中+-=-≠0;(2)+-=-≠0;(3)+-=++=+,又由D为AB的中点知+=0;(4)+-=-+=+=+=0.答案:(3)(4)7.已知O,A,B是平面上的三个点,直线AB上有一点C,满足2+=0,则可用,表示为.解析:=+=+2=+2(-),所以=2-.答案:2-8.如图,解答下列各题:(1)用a,d,e表示;(2)用b,c表示;(3)用a,b,e表示;(4)用d,c表示.解:因为=a,=b,=c,=d,=e,所以(1)=++=d+e+a.(2)=-=--=-b-c.(3)=++=a+b+e.(4)=-=-(+)=-c-d.能力提升9.平面内有四边形ABCD和点O,若+=+,则四边形ABCD的形状是(B)(A)梯形(B)平行四边形(C)矩形(D)菱形解析:因为+=+,所以-=-,即=.又A,B,C,D四点不共线,所以||=||,且BA∥CD.故四边形ABCD为平行四边形.10.若O是△ABC内一点,++=0,则O是△ABC的(C)(A)内心(B)外心(C)重心(D)垂心解析:如图,以,为邻边作平行四边形OBDC,则=+,又++=0.所以+=-.所以=-.所以A,O,D三点共线.设OD与BC的交点为E,则E是BC的中点,所以AE是△ABC的中线.同理可证BO,CO都在△ABC的中线上,所以O是△ABC的重心.11.在△ABC中,||=||=||=1,则|-|=.解析:如图,-=+=+=.在△ABD中,AB=BD=1,∠ABD=120°,易求得AD=,即||=.所以|-|=.答案:12.如图所示,ABCD▱中,=a,=b,(1)用a,b表示,;(2)当a,b满足什么条件时,表示a+b与a-b的有向线段所在的直线互相垂直?(3)当a,b满足什么条件时,|a+b|=|a-b|.(4)a+b与a-b有可能为相等向量吗?为什么?解:(1)=+=a+b,=-=a-b.(2)由(1)知a+b=,a-b=,表示a+b与a-b的有向线段所在直线垂直.即AC⊥BD.又因为四边形ABCD为平行四边形,所以四边形ABCD为菱形时,满足题意,即a,b应满足|a|=|b|.(3)|a+b|=|a-b|,即||=||,因为矩形的对角线相等,所以当表示a,b的有向线段所在直线垂直时,满足|a+b|=|a-b|.(4)不可能.因为▱ABCD的两对角线不可能平行.因此,a+b与a-b不可能为共线向量,那么就不可能为相等向量了.探究创新13.三个大小相同的力a,b,c作用在同一物体P上,使物体P沿a方向做匀速运动,设=a,=b,=c,判断△ABC的形状.解:由题意得|a|=|b|=|c|,由于合力作用后做匀速运动,故合力为0,即a+b+c=0.所以a+c=-b.如图,作平行四边形APCD,则平行四边形APCD为菱形.=a+c=-b.所以∠APC=120°.同理∠APB=∠BPC=120°.又因为|a|=|b|=|c|,所以△ABC为等边三角形.
