2.2.1向量加法运算及其几何意义选题明细表知识点、方法题号向量的加法运算1,2,3,4向量加法与平面几何的综合应用5,6,7,10,11,12,13向量加法的实际应用8,9基础巩固1.如图所示,在▱ABCD中,++等于(A)(A)(B)(C)(D)解析:++=++=+0=.故选A.2.如图所示的方格纸中有定点O,P,Q,E,F,G,H,则+等于(C)(A)(B)(C)(D)解析:在原图上取点M,使+=,如图所示,而=.故选C.3.下列说法正确的是(B)(A)0+0=0(B)对任意向量a,b都有a+b=b+a(C)对任意a,b都有|a+b|>0(D)等式|a+b|=|a|+|b|不可能成立解析:选项A不正确;选项B正确;选项C不正确,对任意a,b都有|a+b|≥0;选项D不正确,当a与b同向或其中一个(或两个)向量为0时,|a+b|=|a|+|b|,故选B.4.下列向量的运算结果为零向量的是(D)(A)+(B)++(C)+++(D)+++解析:A项,+=+=;B项,++=++=;C项,+++=(++)+=0+=;D项,+++=(+)+(+)=+=0.5.已知P为△ABC所在平面内一点,当+=成立时,点P位于(D)(A)△ABC的AB边上(B)△ABC的BC边上(C)△ABC的内部(D)△ABC的外部解析:如图,+=,则P在△ABC的外部.6.如图,在正六边形ABCDEF中,若AB=1,则|++|=.解析:因为++=++=,所以|++|=||=2.答案:27.对于任意一个四边形ABCD,下列式子不能化简为的是.(1)++;(2)++;(3)++;(4)++.解析:在(1)中++=+=;在(2)中++=+=;在(3)中++=+=;在(4)中++=+=+=.答案:(3)8.已知小船在静水中的速度与河水的流速都是10km/h.(1)小船在河流中行驶的实际速度的最大值与最小值分别是多少?(2)如果小船在河南岸M处,对岸北偏东30°处有一码头N,小船的航向如何确定才能直线到达对岸码头N?(河水自西向东流)解:(1)小船顺流行驶时实际速度最大,最大值为20km/h,小船逆流行驶时实际速度最小,最小值为0km/h,此时小船是静止的.(2)如图所示,设表示水流的速度,表示小船实际过河的速度.设MC⊥MA,||=||=10,∠CMN=30°,因为+=,所以四边形MANB为菱形,在△MNB中,||=||=10,所以∠BMN=60°,而∠CMN=30°,所以∠CMB=30°,所以小船要由M直达码头N,其航向应为北偏西30°.能力提升9.(2018·宝塔区高一期中)已知向量a表示“向东航行3km”,向量b表示“向南航行3km”,则a+b表示(B)(A)向东南航行6km(B)向东南航行3km(C)向东北航行3km(D)向东北航行6km解析:设=a,=b,则OA=OB=3,OA⊥OB,以OA,OB为邻边作平行四边形OACB,由平行四边形法则可知=a+b.因为OA⊥OB,OA=OB,所以平行四边形OACB是正方形,所以OC方向为东南方向.因为OA=OB=3,所以OC=3.故选B.10.在平行四边形ABCD中,若|+|=|+|,则四边形ABCD是(B)(A)菱形(B)矩形(C)正方形(D)不确定解析:因为四边形ABCD为平行四边形,所以+=,+=.又|+|=|+|,所以||=||.所以平行四边形ABCD为矩形.11.设P为▱ABCD所在平面内一点,则①+=+;②+=+;③+=+中成立的序号为.解析:以PA,PC为邻边作平行四边形PAEC,则PE与AC交于AC的中点O,同样以PB,PD为邻边作平行四边形PBFD,对角线BD与PF交于BD的中点O′,则O与O′重合,所以+=+.答案:②12.如图所示,在平行四边形ABCD的对角线BD的延长线和反向延长线上取点F,E,使BE=DF.求证:四边形AECF是平行四边形.证明:=+,=+,因为四边形ABCD是平行四边形,所以=.因为FD=BE,且与的方向相同,所以=.所以+=+,即=,所以AE与FC平行且相等.所以四边形AECF是平行四边形.探究创新13.已知:O是正三角形ABC的重心,求证:++=0.证明:如图所示,根据平行四边形法则,作出=+,易知四边形OBEC为菱形.所以OE平分∠BOC.由正三角形性质得∠AOC=∠BOC=120°,所以∠EOC=60°,所以∠AOE=180°,所以A,O,E三点共线.||=||=||=||,所以+=0,所以++=+=0.故++=0成立.
