第二章2.22.2.3向量数乘运算及其几何意义A级基础巩固一、选择题1．已知四边形ABCD是菱形，点P在对角线AC上(不包括端点A、C)，则AP＝(A)A．λ(AB＋BC)λ∈(0,1)B．λ(AB＋BC)λ∈(0，)C．λ(AB－BC)λ∈(0,1)D．λ(AB－BC)λ∈(0，)[解析]设P是对角线AC上的一点(不含A、C)，过P分别作BC、AB的平分线，设AP＝λAC，则λ∈(0,1)，于是AP＝λ(AB＋BC)，λ∈(0,1)．2．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若AD＝2DB，CD＝CA＋λCB，则λ等于(A)A．B．C．－D．－[解析](方法一)：由AD＝2DB，可得CD－CA＝2(CB－CD)⇒CD＝CA＋CB，所以λ＝.故选A．(方法二)：CD＝CA＋AD＝CA＋AB＝CA＋(CB－CA)＝CA＋CB，所以λ＝，故选A．3．点P是△ABC所在平面内一点，若CB＝λPA＋PB，其中λ∈R，则点P一定在(B)A．△ABC内部B．AC边所在的直线上C．AB边所在的直线上D．BC边所在的直线上[解析] CB＝λPA＋PB，∴CB－PB＝λPA．∴CP＝λPA．∴P、A、C三点共线．∴点P一定在AC边所在的直线上．4．已知平行四边形ABCD中，DA＝a，DC＝b，其对角线交点为O，则OB等于(C)A．a＋bB．a＋bC．(a＋b)D．a＋b[解析]DA＋DC＝DA＋AB＝DB＝2OB，所以OB＝(a＋b)，故选C．5．已知向量a、b，且AB＝a＋2b，BC＝－5a＋6b，CD＝7a－2b，则一定共线的三点是(A)A．A、B、DB．A、B、CC．B、C、DD．A、C、D[解析]BD＝BC＋CD＝(－5a＋6b)＋(7a－2b)＝2a＋4b＝2AB，所以，A、B、D三点共线．6．如图所示，向量OA、OB、OC的终点A、B、C在一条直线上，且AC＝－3CB.设OA＝p，OB＝q，OC＝r，则以下等式中成立的是(A)A．r＝－p＋qB．r＝－p＋2qC．r＝p－qD．r＝－q＋2p[解析] OC＝OB＋BC，AC＝－3CB＝3BC，∴BC＝AC．∴OC＝OB＋AC＝OB＋(OC－OA)．∴r＝q＋(r－p)．∴r＝－p＋q．二、填空题7．在△ABC中，点M，N满足AM＝2MC，BN＝NC.若MN＝xAB＋yAC，则x＝；y＝－．[解析]由题中条件得MN＝MC＋CN＝AC＋CB＝AC＋(AB－AC)＝AB－AC＝xAB＋yAC，所以x＝，y＝－．8．(2016·潍坊高一检测)设D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，AD＝AB，BE＝BC．若DE＝λ1AB＋λ2AC(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为．[解析]由已知DE＝BE－BD＝BC－BA＝(AC－AB)＋AB＝－AB＋AC，∴λ1＝－，λ2＝，从而λ1＋λ2＝．三、解答题9．已知▱ABCD中，AB＝a，AD＝b，对角线AC、BD交于点O，用a、b表示OA，BO．[解析]OA＝CA＝(CB＋BA)＝(－a－b)．BO＝BD＝(AD－AB)＝(b－a)．10．已知向量e1、e2是两个共线向量，若a＝e1－e2，b＝2e1＋2e2，求证：a∥b．[证明]若e1＝e2＝0，则a＝b＝0，所以a与b共线，即a∥b；若e1、e2中至少有一个不为零向量，不妨设e1≠0，则e2＝λe1(λ∈R)，且a＝(1－λ)e1，b＝2(1＋λ)e1，所以a∥e1，b∥e1．因为e1≠0，所以a∥b．综上可知，a∥b．B级素养提升一、选择题1．设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论正确的是(C)A．a与－λa的方向相反B．|－λa|≥|a|C．a与λ2a的方向相同D．|－λa|＝|λ|a[解析]A错误，因为λ取负数时，a与－λa的方向是相同的；B错误，因为当|λ|<1时，该式不成立；D错误，等号左边的结果是一个数，而右边的结果是一个向量，不可能相等；C正确，因为λ2(λ≠0)一定是正数，故a与λ2a的方向相同．故选C．2．设e1、e2是两个不共线的向量，则向量a＝2e1－e2，与向量b＝e1＋λe2(λ∈R)共线，当且仅当λ的值为(D)A．0B．－1C．－2D．－[解析] 向量a与b共线，∴存在唯一实数u，使b＝ua成立．即e1＋λe2＝u(2e1－e2)＝2ue1－ue2.∴解得λ＝－．3．在▱ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线交CD于点F，若AC＝a，BD＝b，则AF＝(D)A．a＋bB．a＋bC．a＋bD．a＋b[解析]AF＝AC＋CF＝a＋CD＝a＋(OD－OC)＝a＋(BD－AC)＝a＋(b－a)＝a＋(b－a)＝a＋b．4．在△ABC中，点D在BC边所在直线上．若CD＝4BD＝sAB－rAC，则s＋r等于(C)A．0B．C．D．3[解析]由题意可得，CD＝AD－AC＝AB＋BD－AC＝AB＋CB－AC＝AB＋(AB－AC)－AC＝AB－AC，∴s＋r＝．二、填空题5．若2(x－a)－(b＋c－3x)＋b＝0，其中a、b、c为已知向量，则未知向量x＝a－b＋c．[解析] 2x－a－b－c＋x＋b＝0，∴x＝a－b＋c.∴x＝a－b＋c．6．如图所示，在▱ABCD中，...
