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高中数学 第二章 平面向量 2.2 平面向量的线性运算 2.2.3 向量数乘运算及其几何意义同步优化训练 新人教A版必修4-新人教A版高一必修4数学试题VIP免费

高中数学 第二章 平面向量 2.2 平面向量的线性运算 2.2.3 向量数乘运算及其几何意义同步优化训练 新人教A版必修4-新人教A版高一必修4数学试题_第1页
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2.2.3向量数乘运算及其几何意义5分钟训练(预习类训练,可用于课前)1.点C在线段AB上,且=,则=_______________.()A.B.C.D.解析:=()=+=-,即=-,故=-.答案:D2.[(2a+8b)-(4a-2b)]等于()A.2a-bB.2b-aC.b-aD.a-b解析:原式=(a+4b-4a+2b)=(6b-3a)=2b-a.答案:B3.向量a、b共线的有()①a=2e,b=-2e②a=e1-e2,b=-2e1+2e2③a=4e1-e2,b=e1-e2④a=e1+e2,b=2e1-2e2A.①②③B.②③④C.①③④D.①②③④解析:对于①②③中的向量a与b,都存在一个相应的实数λ,使a=λb,而④中的两个向量,不存在实数λ使b=λa成立.答案:A4.(2006高考广东卷,理4)如图2-2-15所示,D是△ABC的边AB的中点,则向量等于()图2-2-15A.-+B.-C.D.+解析:+,故选A.答案:A10分钟训练(强化类训练,可用于课中)1.(2005高考山东卷,文8)已知向量a,b,且=a+2b,=-5a+6b,=7a-2b,则共线的三点是()A.A、B、DB.A、B、CC.B、C、DD.A、C、D解析:∵,∴.∴.∴A,B,D三点共线.答案:A2.下列四个命题:①对于实数m和向量a、b,恒有m(a-b)=ma-mb;②对于实数m,n和向量a,恒有(m-n)a=ma-na;③若ma=mb(m∈R),则有a=b;④若ma=na(m、n∈R,a≠0),则m=n.其中正确命题的序号为_________________.解析:①②满足实数与向量积的运算律;③中若m=0,则ma=mb=0,不一定有a=b;④中由ma=na,则(m-n)a=0,∵a≠0,∴m-n=0.∴m=n.答案:①②④3.求实数λ,使得λa+b与2a+λb共线.解:∵λa+b与2a+λb共线,∴存在一个实数,不妨设为m,使得(λa+b)=m(2a+λb),即(λ-2m)aV+(1-mλ)b=0.∴解得λ=±.4.在平行四边形ABCD中,=a,=b,求,.解法一:利用平行四边形的性质得==a,=BD=b.∵,∴=ab.又∵,=,∴=a+b.解法二:将,视为未知量,由向量的加法、减法,得两式相加得,∴=+=a+b.两式相减得,∴==ab.5.一艘船以5km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶,航船实际航行方向与水流方向成30°角,求水流速度和船的实际速度.解:如图,表示水流速度,表示船垂直于对岸方向行驶的速度,表示船的实际速度,∠AOC=30°,||=5km/h,∵四边形ABCD为矩形,∴||=||cot30°=,||===10.30分钟训练(巩固类训练,可用于课后)1.若3x-2(x-a)=0,则x等于()A.2aB.-2aC.D.解析:∵3x-2(x-a)=0,∴x+2a=0,即x=-2a.答案:B2.设a是非零向量,λ是非零实数,下列结论正确的是()A.a与-λa的方向相反B.|-λa|≥|a|C.a与λ2a的方向相同D.|-λa|=|λ|a解析:如果λ>0则a与-λa的方向相反,如果λ<0,则a与-λa的方向相同,A错;如果|λ|<1,则|-λa|<|a|,B错;|-λa|是一个大于或等于零的实数,而|λ|a是向量,它们之间不能比较大小,D错.答案:C3.若|a|=m,b与a的方向相反,且|b|=2,则a=_____________.解析:由,∴|a|=|b|.∵b与a方向相反,∴b与a共线.∴a=.答案:4.如图2-2-16,ABCD中,点M是AB的中点,点N在BD上,且BN=BD.求证:M、N、C三点共线.图2-2-16证明:设=a,=b,则=a+(-a+b)=a+b,=a+b,所以.所以M、N、C三点共线.5.设e1、e2是两个不共线向量,已知=2e1+me2,=e1+3e2.若A、B、C三点共线,求实数m的值.解:∵A、B、C三点共线,∴、共线存在实数λ,使=λ,即2e1+me2=λ(e1+3e2)=λe1+3λe2,解得∴λ=2,m=6.6.如图2-2-17所示,在△ABC中,=a,=b,AD为边BC的中线,G为△ABC的重心,求向量.图2-2-17解法一:∵=a,=b,则==b,∴=a+b.而=,∴=a+b.解法二:过G作BC的平行线,交AB、AC于E、F.∵△AEF∽△ABC,==a,==b,==b,∴=a+b.7.如图2-2-18,在△ABC中,C为直线AB上一点,=λ(λ≠-1),求证:=图2-2-18证明:因为,,又=λ,所以=λ(),即(1+λ)=+λ.又因为λ≠-1,即1+λ≠0,所以=.8.用向量方法证明:三角形两边中点连线平行于第三边,且其长度等于第三边长度的一半.证明:已知右图所示△ABC中,D、E分别是边AB、AC的中点,求证:DE∥BC,且DE=.证明:∵D、E分别是边AB、AC的中点,∴=,=.∴=()=.又D不在BC上,∴DE∥BC,且DE=.快乐时光腹部的疤痕5岁的女儿不明白妈妈的肚皮上为什么有一个疤痕,妈妈向女儿解释说:“这是医生割了一刀,把你取出的地方.”女儿认真地想了一会儿,很认真地问妈妈:“那你为什么要吃掉我?”

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