高中数学 第二章 平面向量 2.2 平面向量的线性运算 2.2.3 向量数乘运算及其几何意义同步优化训练 新人教A版必修4-新人教A版高一必修4数学试题VIP专享VIP免费

2.2.3向量数乘运算及其几何意义5分钟训练(预习类训练，可用于课前)1.点C在线段AB上，且=，则=_______________.()A.B.C.D.解析：=()=+=-,即=-,故=-.答案：D2.［(2a+8b)-(4a-2b)］等于()A.2a-bB.2b-aC.b-aD.a-b解析：原式=(a+4b-4a+2b)=(6b-3a)=2b-a.答案：B3.向量a、b共线的有()①a=2e，b=-2e②a=e1-e2，b=-2e1+2e2③a=4e1-e2，b=e1-e2④a=e1+e2，b=2e1-2e2A.①②③B.②③④C.①③④D.①②③④解析：对于①②③中的向量a与b，都存在一个相应的实数λ，使a=λb，而④中的两个向量，不存在实数λ使b=λa成立.答案：A4.(2006高考广东卷，理4)如图2-2-15所示，D是△ABC的边AB的中点，则向量等于()图2-2-15A.-+B.-C.D.+解析：+，故选A.答案：A10分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.(2005高考山东卷，文8)已知向量a，b，且=a+2b,=-5a+6b,=7a-2b,则共线的三点是()A.A、B、DB.A、B、CC.B、C、DD.A、C、D解析：∵,∴.∴.∴A，B，D三点共线.答案：A2.下列四个命题：①对于实数m和向量a、b，恒有m(a-b)=ma-mb；②对于实数m，n和向量a，恒有(m-n)a=ma-na；③若ma=mb(m∈R)，则有a=b；④若ma=na(m、n∈R，a≠0)，则m=n.其中正确命题的序号为_________________.解析：①②满足实数与向量积的运算律；③中若m=0，则ma=mb=0，不一定有a=b；④中由ma=na，则(m-n)a=0，∵a≠0，∴m-n=0.∴m=n.答案：①②④3.求实数λ，使得λa+b与2a+λb共线.解：∵λa+b与2a+λb共线，∴存在一个实数，不妨设为m，使得(λa+b)=m(2a+λb),即(λ-2m)aV+(1-mλ)b=0.∴解得λ=±.4.在平行四边形ABCD中，=a，=b，求,.解法一：利用平行四边形的性质得==a,=BD=b.∵，∴=ab.又∵,=,∴=a+b.解法二：将,视为未知量，由向量的加法、减法，得两式相加得,∴=+=a+b.两式相减得,∴==ab.5.一艘船以5km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，航船实际航行方向与水流方向成30°角，求水流速度和船的实际速度.解：如图，表示水流速度，表示船垂直于对岸方向行驶的速度，表示船的实际速度，∠AOC=30°，||=5km/h，∵四边形ABCD为矩形，∴||=||cot30°=，||===10.30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1.若3x-2(x-a)=0，则x等于()A.2aB.-2aC.D.解析：∵3x-2(x-a)=0,∴x+2a=0,即x=-2a.答案：B2.设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论正确的是()A.a与-λa的方向相反B.|-λa|≥|a|C.a与λ2a的方向相同D.|-λa|=|λ|a解析：如果λ＞0则a与-λa的方向相反，如果λ＜0，则a与-λa的方向相同，A错；如果|λ|＜1，则|-λa|＜|a|，B错；|-λa|是一个大于或等于零的实数，而|λ|a是向量，它们之间不能比较大小，D错.答案：C3.若|a|=m，b与a的方向相反，且|b|=2，则a=_____________.解析：由，∴|a|=|b|.∵b与a方向相反，∴b与a共线.∴a=.答案：4.如图2-2-16，ABCD中，点M是AB的中点，点N在BD上，且BN=BD.求证：M、N、C三点共线.图2-2-16证明：设=a，=b，则=a+(-a+b)=a+b，=a+b,所以.所以M、N、C三点共线.5.设e1、e2是两个不共线向量，已知=2e1+me2，=e1+3e2.若A、B、C三点共线，求实数m的值.解：∵A、B、C三点共线，∴、共线存在实数λ，使=λ，即2e1+me2=λ(e1+3e2)=λe1+3λe2，解得∴λ=2，m=6.6.如图2-2-17所示，在△ABC中，=a，=b，AD为边BC的中线，G为△ABC的重心，求向量.图2-2-17解法一：∵=a,=b,则==b,∴=a+b.而=,∴=a+b.解法二：过G作BC的平行线，交AB、AC于E、F.∵△AEF∽△ABC，==a,==b,==b,∴=a+b.7.如图2-2-18，在△ABC中，C为直线AB上一点，=λ(λ≠-1)，求证：=图2-2-18证明：因为,,又=λ,所以=λ(),即(1+λ)=+λ.又因为λ≠-1,即1+λ≠0,所以=.8.用向量方法证明：三角形两边中点连线平行于第三边，且其长度等于第三边长度的一半.证明：已知右图所示△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，求证：DE∥BC，且DE=.证明：∵D、E分别是边AB、AC的中点，∴=,=.∴=()=.又D不在BC上，∴DE∥BC，且DE=.快乐时光腹部的疤痕5岁的女儿不明白妈妈的肚皮上为什么有一个疤痕，妈妈向女儿解释说：“这是医生割了一刀，把你取出的地方.”女儿认真地想了一会儿，很认真地问妈妈：“那你为什么要吃掉我？”