2.1.1向量的物理背景与概念2.1.2向量的几何表示2.1.3相等向量与共线向量学业(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．下列说法正确的个数是()(1)温度、速度、位移、功这些物理量都是向量；(2)零向量没有方向；(3)非零向量的单位向量是唯一的．A．0B．1C．2D．3【解析】(1)中温度和功不是向量；(2)零向量的方向不确定，而不是没有方向，所以(1)(2)错误．【答案】B2．下列说法中正确的是()A．有向线段AB与BA表示同一个向量B．两个有公共终点的向量是平行向量C．零向量与单位向量是平行向量D．对任一向量a，是一个单位向量【解析】向量AB与BA是相反向量；有公共终点的向量的方向不能确定；当a＝0时，无意义．故只有C选项正确．【答案】C3．给出下列四个命题：①若|a|＝0，则a＝0；②若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；③若a∥b，则|a|＝|b|；④若a＝0，则－a＝.其中的正确命题有()A．1B．2C．3D．4【解析】对于①，前一个零是实数，后一个应是向量0.对于②，两个向量的模相等，只能说明它们的长度相等，它们的方向并不确定．对于③，两个向量平行，它们的方向相同或相反，模未必相等．只有④正确．故选A．【答案】A4．如图214，在菱形ABCD中，∠DAB＝120°，则以下说法错误的是()图214A．与AB相等的向量只有一个(不含AB)B．与AB的模相等的向量有9个(不含AB)C．BD的模恰为DA的模的倍D．CB与DA不共线【解析】与AB相等的向量只有DC；在菱形ABCD中，AC＝AB＝BC＝CD＝DA，每一条线段可得方向相反的两个向量，它们的模都相等，故有5×2－1＝9(个)；计算得DO＝DA，∴BD＝DA，即|BD|＝|DA|；由AD∥BC知CB与DA共线，故D错误．【答案】D5．若|AB|＝|AD|且BA＝CD，则四边形ABCD的形状为()A．平行四边形B．矩形C．菱形D．等腰梯形【解析】由BA＝CD知四边形为平行四边形；由|AB|＝|AD|知四边形ABCD为菱形．故选C．【答案】C二、填空题6．已知A，B，C是不共线的三点，向量m与向量AB是平行向量，与BC是共线向量，则m＝________.【解析】因为A，B，C三点不共线，所以AB与BC不共线．又因为m∥AB且m∥BC，所以m＝0.【答案】07．给出以下五个条件：①a＝b；②|a|＝|b|；③a与b的方向相反；④|a|＝0或|b|＝0；⑤a与b都是单位向量．其中能使a∥b成立的是________．【解析】共线向量指的是方向相同或相反的向量，它只涉及方向，不涉及大小．很明显仅有①③④.【答案】①③④三、解答题8.O是正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED，OCFB都是正方形，在如图215所示的向量中：图215(1)分别找出与AO，BO相等的向量；(2)找出与AO共线的向量；(3)找出与AO模相等的向量；(4)向量AO与CO是否相等？【解】(1)AO＝BF，BO＝AE.(2)与AO共线的向量有：BF，CO，DE.(3)与AO模相等的向量有：CO，DO，BO，BF，CF，AE，DE.(4)向量AO与CO不相等，因为它们的方向不相同．9．如图216所示，已知四边形ABCD中，M，N分别是BC，AD的中点，又AB＝DC且CN＝MA，求证：DN＝MB.图216【证明】因为AB＝DC，所以|AB|＝|DC|且AB∥DC，所以四边形ABCD是平行四边形，所以|DA|＝|CB|且DA∥CB．又因为DA与CB的方向相同，所以CB＝DA.同理可证，四边形CNAM是平行四边形，所以CM＝NA.因为|CB|＝|DA|，|CM|＝|NA|，所以|MB|＝|DN|.又DN与MB的方向相同，所以DN＝MB.[能力提升]1．已知向量a，b是两个非零向量，AO，BO分别是与a，b同方向的单位向量，则以下各式正确的是()A．AO＝BOB．AO＝BO或AO＝OBC．AO＝OBD．AO与BO的长度相等【解析】因为a与b方向关系不确定且a≠0，b≠0，又AO与a同方向，BO与b同方向，所以AO与BO方向关系不确定，所以A，B，C均不对．又AO与BO均为单位向量，所以|AO|＝|BO|＝1.【答案】D2．已知飞机从A地按北偏东30°方向飞行2000km到达B地，再从B地按南偏东30°方向飞行2000km到达C地，再从C地按西南方向飞行1000km到达D地．画图表示向量AB，BC，CD，并指出向量AD的模和方向．【解】以A为原点，正东方向为x轴正方向，正北方向为y轴正方向建立直角坐标系．据题设，B点在第一象限，C点在x轴正半轴上，D点在第四象限，向量AB，BC，CD如图所示，由已知可得，△ABC为正三角形，所以AC＝2000km.又∠ACD＝45°，CD＝1000km，所以△ADC为等腰直角三角形，所以AD＝1000km，∠CAD＝45°.故向量AD的模为1000km，方向为东南方向．
