【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式学业分层测评10一般形式的柯西不等式新人教A版选修4-5(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．设a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，则＋＋的最大值是()A．1B.C．3D.9【解析】由柯西不等式得[()2＋()2＋()2](12＋12＋12)≥(＋＋)2，∴(＋＋)2≤3×1＝3，当且仅当a＝b＝c＝时等号成立．∴＋＋的最大值为.故选B.【答案】B2．设a，b，c是正实数，且a＋b＋c＝9，则＋＋的最小值为()【导学号：32750054】A．4B．3C．6D.2【解析】∵(a＋b＋c)＝[()2＋()2＋()2]·≥2＝18.∴＋＋≥2.【答案】D3．设a1，a2，…，an为实数，P＝，Q＝，则P与Q的大小关系为()A．P＞QB．P≥QC．P＜QD.不确定【解析】由柯西不等式知≥a1＋a2＋…＋an，∴·≥a1＋a2＋…＋an，即得≥，∴P≥Q.【答案】B4．若实数x＋y＋z＝1，则F＝2x2＋y2＋3z2的最小值为()A．1B．6C．11D.【解析】∵(2x2＋y2＋3z2)≥x·＋y·1＋z·＝(x＋y＋z)2＝1，∴2x2＋y2＋3z2≥＝，即F≥，当且仅当2x＝y＝3z时，取等号．【答案】D5．已知x，y，z均大于0，且x＋y＋z＝1，则＋＋的最小值为()A．24B．30C．36D．48【解析】(x＋y＋z)1≥2＝36，∴＋＋≥36.【答案】C二、填空题6．已知a，b，c∈R，且2a＋2b＋c＝8，则(a－1)2＋(b＋2)2＋(c－3)2的最小值是__________．【解析】由柯西不等式得：(4＋4＋1)×[(a－1)2＋(b＋2)2＋(c－3)2]≥[2(a－1)＋2(b＋2)＋c－3]2，∴9[(a－1)2＋(b＋2)2＋(c－3)2]≥(2a＋2b＋c－1)2.∵2a＋2b＋c＝8，∴(a－1)2＋(b＋2)2＋(c－3)2≥，∴(a－1)2＋(b＋2)2＋(c－3)2的最小值是.【答案】7．已知a，b，c∈R，a＋2b＋3c＝6，则a2＋4b2＋9c2的最小值为________．【解析】∵a＋2b＋3c＝6，∴1×a＋1×2b＋1×3c＝6.∴(a2＋4b2＋9c2)(12＋12＋12)≥(a＋2b＋3c)2，即a2＋4b2＋9c2≥12.当且仅当＝＝，即a＝2，b＝1，c＝时取等号．【答案】128．设x，y，z∈R，若(x－1)2＋(y＋2)2＋z2＝4，则3x－y－2z的取值范围是__________．又3x－y－2z取最小值时，x的值为__________．【解析】[(x－1)2＋(y＋2)2＋z2][32＋(－1)2＋(－2)2]≥(3x－3－y－2－2z)2,4×14≥(3x－y－2z－5)2，∴－2≤3x－y－2z－5≤2，即5－2≤3x－y－2z≤5＋2.若3x－y－2z＝5－2，又＝＝＝t，∴3(3t＋1)－(－t－2)－2(－2t)＝5－2，∴t＝－，∴x＝－＋1.【答案】[5－2，5＋2]－＋1三、解答题9．已知正数x，y，z满足x＋y＋z＝1.(1)求证：＋＋≥；(2)求4x＋4y＋4z2的最小值．【解】(1)证明：·(y＋2z＋z＋2x＋x＋2y)≥·＋·＋·＝1，即3≥1，∴＋＋≥.(2)由基本不等式，得4x＋4y＋4z2≥3，因为x＋y＋z＝1，所以x＋y＋z2＝1－z＋z2＝2＋≥，故4x＋4y＋4z2≥3＝3，当且仅当x＝y＝，z＝时等号成立，所以4x＋4y＋4z2的最小值为3.10．已知f(x)＝ax2＋bx＋c的所有系数均为正数，且a＋b＋c＝1，求证：对于任何正数x1，x2，当x1·x2＝1时，必有f(x1)·f(x2)≥1.【证明】由于f(x)＝ax2＋bx＋c，2且a，b，c大于0，∴f(x1)·f(x2)＝(ax＋bx1＋c)(ax＋bx2＋c)≥(x1·x2＋·＋c)2＝(ax1x2＋b＋c)2＝[f()]2＝[f(1)]2.又f(1)＝a＋b＋c，且a＋b＋c＝1，∴f(x1)·f(x2)≥1.[能力提升]1．若2a＞b＞0，则a＋的最小值为()A．1B．3C．8D.12【解析】∵2a＞b＞0，∴2a－b＞0，∴a＋＝≥·3＝3.当且仅当2a－b＝b＝，即a＝b＝2时等号成立，∴当a＝b＝2时，a＋有最小值3.【答案】B2．设a，b，c，x，y，z是正数，且a2＋b2＋c2＝10，x2＋y2＋z2＝40，ax＋by＋cz＝20，则＝()A.B.C.D.【解析】由柯西不等式得，(a2＋b2＋c2)(x2＋y2＋z2)≥(ax＋by＋cz)2＝400，当且仅当＝＝＝时取等号，因此有＝.【答案】C3．已知a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝6，则＋＋的最大值为________.【导学号：32750055】【解析】由柯西不等式得：(＋＋)2＝(1×＋1×＋1×)2≤(12＋12＋12)(2a＋2b＋1＋2c＋3)＝3(2×6＋4)＝48.当且仅当＝＝，即2a＝2b＋1＝2c＋3时等号成立．又a＋b＋c＝6，∴a＝，b＝，c＝时，＋＋取得最大值4.【答案】44．△ABC的三边长为a，b，c，其外接圆半径为R.求证：(a2＋b2＋c2)≥36R2.【证明】由三角形中的正弦定理，得sinA＝，所以＝，同理＝，＝，于是由柯西不等式可得左边＝(a2＋b2＋c2)≥2＝36R2，∴原不等式得证．3
