高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.2.2 空间向量与垂直关系学业分层测评 新人教A版选修2-1-新人教A版高一选修2-1数学试题VIP免费

【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学第三章空间向量与立体几何3.2.2空间向量与垂直关系学业分层测评新人教A版选修2-1(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．已知平面α的法向量为a＝(1，2，－2)，平面β的法向量为b＝(－2，－4，k)，若α⊥β，则k＝()A．4B.－4C．5D．－5【解析】 α⊥β，∴a⊥b，∴a·b＝－2－8－2k＝0.∴k＝－5.【答案】D2．在菱形ABCD中，若PA是平面ABCD的法向量，则以下等式中可能不成立的是()A.PA⊥ABB.PA⊥CDC.PC⊥BDD.PC⊥AB【解析】由题意知PA⊥平面ABCD，所以PA与平面上的线AB，CD都垂直，A，B正确；又因为菱形的对角线互相垂直，可推得对角线BD⊥平面PAC，故PC⊥BD，C选项正确．【答案】D3．已知AB＝(1，5，－2)，BC＝(3，1，z)，若AB⊥BC，BP＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则实数x，y，z分别为()A.，－，4B.，－，4C.，－2，4D．4，，－15【解析】 AB⊥BC，∴AB·BC＝0，即3＋5－2z＝0，得z＝4，又BP⊥平面ABC，∴BP⊥AB，BP⊥BC，则解得【答案】B4．已知点A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，点D满足条件：DB⊥AC，DC⊥AB，AD＝BC，则点D的坐标为()A．(1，1，1)B．(－1，－1，－1)或C.D．(1，1，1)或【解析】设D(x，y，z)，则BD＝(x，y－1，z)，CD＝(x，y，z－1)，AD＝(x－1，y，z)，AC＝(－1，0，1)，AB＝(－1，1，0)，BC＝(0，－1，1)．又DB⊥AC⇔－x＋z＝0①，DC⊥AB⇔－x＋y＝0②，AD＝BC⇔(x－1)2＋y2＋z2＝2③，联立①②③得x＝y＝z＝1或x＝y＝z＝－，所以点D的坐标为(1，1，1)或.故选D.【答案】D5．设A是空间一定点，n为空间内任一非零向量，满足条件AM·n＝0的点M构成的图形是()A．圆B．直线C．平面D．线段【解析】M构成的图形经过点A，且是以n为法向量的平面．【答案】C二、填空题6．已知直线l与平面α垂直，直线l的一个方向向量u＝(1，－3，z)，向量v＝(3，－2，1)与平面α平行，则z＝________.【导学号：18490112】【解析】由题意知u⊥v，∴u·v＝3＋6＋z＝0，∴z＝－9.【答案】－97．已知a＝(x，2，－4)，b＝(－1，y，3)，c＝(1，－2，z)，且a，b，c两两垂直，则(x，y，z)＝________．【解析】由题意，知解得x＝－64，y＝－26，z＝－17.【答案】(－64，－26，－17)8．已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果AB＝(2，－1，－4)，AD＝(4，2，0)，AP＝(－1，2，－1)．对于结论：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③AP是平面ABCD的法向量；④AP∥BD.其中正确的是________．【解析】 AB·AP＝0，AD·AP＝0，∴AB⊥AP，AD⊥AP，则①②正确．又AB与AD不平行，∴AP是平面ABCD的法向量，则③正确．由于BD＝AD－AB＝(2，3，4)，AP＝(－1，2，－1)，∴BD与AP不平行，故④错误．【答案】①②③三、解答题9.如图3215，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M是线段EF的中点．求证：AM⊥平面BDF.图3215【证明】以C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(，，0)，B(0，，0)，D(，0，0)，F(，，1)，M.所以AM＝，DF＝(0,，1)，BD＝(，－，0)．设n＝(x，y，z)是平面BDF的法向量，则n⊥BD，n⊥DF，所以⇒取y＝1，得x＝1，z＝－.则n＝(1，1，－)．因为AM＝.所以n＝－AM，得n与AM共线．所以AM⊥平面BDF.10．底面ABCD是正方形，AS⊥平面ABCD，且AS＝AB，E是SC的中点．求证：平面BDE⊥平面ABCD.【证明】法一设AB＝BC＝CD＝DA＝AS＝1，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则B(1，0，0)，D(0，1，0)，A(0，0，0)，S(0，0，1)，E.连接AC，设AC与BD相交于点O，连接OE，则点O的坐标为.因为AS＝(0，0，1)，OE＝，所以OE＝AS.所以OE∥AS.又因为AS⊥平面ABCD，所以OE⊥平面ABCD.又因为OE⊂平面BDE，所以平面BDE⊥平面ABCD.法二设平面BDE的法向量为n1＝(x，y，z)，因为BD＝(－1，1，0)，BE＝，所以即令x＝1，可得平面BDE的一个法向量为n1＝(1，1，0)．因为AS⊥平面ABCD，所以平面ABCD的一个法向量为n2＝AS＝(0，0，1)．因为n1·n2＝0，所以平面BDE⊥平面ABCD.[能力提升]1.如图3216，在正方体ABCDA1B1C1D1中，以D为原点建立空间直角坐标系，E为BB1的中点，F为A1D1的中点，则下列向量中，能作为平面AEF的法向量的是()图3216A．(1，...