3.3.1两条直线的交点坐标3.3.2两点间的距离(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．直线4x＋2y－2＝0与直线3x＋y－2＝0的交点坐标是()A．(2,2)B．(2，－2)C．(1，－1)D．(1,1)【解析】解方程组得∴交点坐标为(1，－1)．【答案】C2．两直线2x＋3y－k＝0和x－ky＋12＝0的交点在y轴上，那么k的值为()A．－24B．6C．±6D．24【解析】在2x＋3y－k＝0中，令x＝0得y＝，将代入x－ky＋12＝0，解得k＝±6.【答案】C3．以A(5,5)，B(1,4)，C(4,1)为顶点的三角形是()A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形【解析】∵|AB|＝，|AC|＝，|BC|＝3，∴三角形为等腰三角形．故选B.【答案】B4．当a取不同实数时，直线(a－1)x－y＋2a＋1＝0恒过一定点，则这个定点是()A．(2,3)B．(－2,3)C.D．(－2,0)【解析】直线化为a(x＋2)－x－y＋1＝0.由得所以直线过定点(－2,3)．【答案】B5．若直线ax＋by－11＝0与3x＋4y－2＝0平行，并过直线2x＋3y－8＝0和x－2y＋3＝0的交点，则a，b的值分别为()A．－3，－4B．3,4C．4,3D．－4，－3【解析】由方程组得交点B(1,2)，代入方程ax＋by－11＝0中，有a＋2b－11＝0①，又直线ax＋by－11＝0平行于直线3x＋4y－2＝0，所以－＝－②，≠③.由①②③，得a＝3，b＝4.【答案】B二、填空题6．在直线x－y＋4＝0上求一点P，使它到点M(－2，－4)，N(4,6)的距离相等，则点P的坐标为__________．【解析】设P点的坐标是(a，a＋4)，由题意可知|PM|＝|PN|，即＝，解得a＝－，故P点的坐标是.【答案】7．点P(－3,4)关于直线4x－y－1＝0对称的点的坐标是________.【解析】设对称点坐标为(a，b)，则解得即所求对称点的坐标是(5,2)．【答案】(5,2)三、解答题8．设直线l经过2x－3y＋2＝0和3x－4y－2＝0的交点，且与两坐标轴围成等腰直角三角形，求直线l的方程.【解】设所求的直线方程为(2x－3y＋2)＋λ(3x－4y－2)＝0，整理得(2＋3λ)x－(4λ＋3)y－2λ＋2＝0，由题意，得＝±1，解得λ＝－1，或λ＝－.所以所求的直线方程为x－y－4＝0，或x＋y－24＝0.9．已知直线l1：2x＋y－6＝0和点A(1，－1)，过A点作直线l与已知直线l1相交于B点，且使|AB|＝5，求直线l的方程．【解】若l与x轴垂直，则l的方程为x＝1，由得B点坐标(1,4)，此时|AB|＝5，∴x＝1为所求；当l不与x轴垂直时，可设其方程为y＋1＝k(x－1)．解方程组得交点B(k≠－2)．由已知＝5，解得k＝－.∴y＋1＝－(x－1)，即3x＋4y＋1＝0.综上可得，所求直线l的方程为x＝1或3x＋4y＋1＝0.[能力提升]10．已知点M(0，－1)，点N在直线x－y＋1＝0上，若直线MN垂直于直线x＋2y－3＝0，则N点的坐标是()A．(2,3)B．(－2，－1)C．(－4，－3)D．(0,1)【解析】由题意知，直线MN过点M(0，－1)且与直线x＋2y－3＝0垂直，其方程为2x－y－1＝0.直线MN与直线x－y＋1＝0的交点为N，联立方程组解得即N点坐标为(2,3)．【答案】A11．△ABD和△BCE是在直线AC同侧的两个等边三角形，如图332.试用坐标法证明：|AE|＝|CD|.图332【证明】如图所示，以B点为坐标原点，取AC所在直线为x轴，建立直角坐标系．设△ABD和△BCE的边长分别为a和c，则A(－a,0)，C(c,0)，E，D，于是由距离公式，得|AE|＝＝，同理|CD|＝，所以|AE|＝|CD|.
