3.3.2两点间的距离第2课时两直线的交点坐标、两点间的距离（习题课）A级基础巩固一、选择题1．点P(－3，4)关于直线x＋y－2＝0的对称点Q的坐标是()A．(－2，1)B．(－2，5)C．(2，－5)D．(4，－3)解析：设对称点坐标为(a，b)，满足解得即Q(－2，5)．答案：B2．两条直线2x－my＋4＝0和2mx＋3y－6＝0的交点在第二象限，则m的取值范围是()A.B.C.D．(2，＋∞)解析：解出两直线的交点为，由交点在第二象限，得解得m∈.答案：C3．光线从点A(－3，5)射到x轴上，经反射后经过点B(2，10)，则光线从A到B的距离是()A．5B．2C．5D．10解析：根据光学原理，光线从A到B的距离，等于点A关于x轴的对称点A′到点B的距离，易求得A′(－3，－5)．所以|A′B|＝＝5.答案：C4．若三条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0和x＋ky＝0相交于一点，则k的值等于()A．－2B．－C．2D.解析：解方程组得代入方程x＋ky＝0得－1－2k＝0，所以k＝－.答案：B5．若直线ax＋by－11＝0与3x＋4y－2＝0平行，并过直线2x＋3y－8＝0和x－2y＋3＝0的交点，则a，b的值分别为()A．－3，－4B．3，4C．4，3D．－4，－3解析：由方程组得交点B(1，2)，代入方程ax＋by－11＝0中，有a＋2b－11＝0，①又直线ax＋by－11＝0平行于直线3x＋4y－2＝0，所以－＝－，②由①②，得a＝3，b＝4.答案：B二、填空题6．已知A(－3，8)，B(2，2)，在x轴上有一点M，使得|MA|＋|MB|最短，则点M的坐标是________。解析：A关于x轴对称点为A′(－3，－8)，则A′B与x轴的交点即为M，求得M坐标为(1，0)．答案：(1，0)7．直线ax＋by－2＝0，若满足3a－4b＝1，则必过定点________．解析：由3a－4b＝1，解出b，代入ax＋by－2＝0，得a(4x＋3y)＝y＋8.令解得答案：(6，－8)8．已知A(2，1)，B(1，2)，若直线y＝ax与线段AB相交，则实数a的取值范围是________．解析：如图，直线y＝ax的斜率为a且经过原点O，因为直线y＝ax与线段AB相交，所以实数a的最小值为OA的斜率，最大值为OB的斜率，OA的斜率为，OB的斜率为2，故实数a的取值范围是.答案：三、解答题9．已知直线l1：2x＋y－6＝0和点A(1，－1)，过A点作直线l与已知直线l1相交于B点，且使|AB|＝5，求直线l的方程．解：若l与x轴垂直，则l的方程为x＝1，由得B点坐标(1，4)，此时|AB|＝5，所以x＝1为所求；当l不与x轴垂直时，可设其方程为y＋1＝k(x－1)．解方程组得交点B(k≠－2)．由已知＝5，解得k＝－.所以y＋1＝－(x－1)，即3x＋4y＋1＝0.综上可得，所求直线l的方程为x＝1或3x＋4y＋1＝0.10．已知△ABC是直角三角形，斜边BC的中点为M，建立适当的平面直角坐标系，证明：|AM|＝|BC|.证明：以Rt△ABC的直角边AB，AC所在的直线为坐标轴，建立如右图所示的平面直角坐标系，设B，C两点的坐标分别为(b，0)，(0，c)．因为斜边BC的中点为M，所以点M的坐标为，即.由两点间的距离公式，得|BC|＝＝.|AM|＝＝即|AM|＝|BC|.B级能力提升1．若直线l与直线y＝1，x＝7分别交于点P，Q，且线段PQ，的中点坐标为(1，－1)，则直线l的斜率为()A.B．－C．－D.解析：依题意，设点P(a，1)，Q(7，b)，由中点坐标公式知解得从而可知直线l的斜率为＝－.答案：B2．函数y＝＋的最小值为________．解析：y＝＋＝＋，则求函数的最小值即在x轴上找一点P(x，0)，使得该点到点A(1，1)，B(2，2)的距离之和最小．作点A(1，1)关于x轴的对称点A′(1，－1)，则|PA＋PB|＝|PA′|＋|PB|≥|A′B|，故|PA|＋|PB|的最小值为|A′B|.由两点间的距离公式可得|A′B|＝＝，所以函数y＝＋的最小值为.答案：3．某地东西有一条河，南北有一条路，A村在路西3公里、河北岸4公里处；B村在路东2公里、河北岸公里处．两村拟在河边建一座水力发电站，要求发电站到两村距离相等，问发电路建在何处？到两村的距离为多远？解：以小河的方向向东为x轴正方向，以路的方向向北为y轴正方向，建立平面直角坐标系，则A(－3，4)，B(2，)，问题转化为在x轴上找一点P，使|PA|＝|PB|，并求|PA|的值．可设点P为(x，0)，则有|PA|＝＝，|PB|＝＝.由|PA|＝|PB|得x2＋6x＋25＝x2－4x＋7，解得x＝－.即所求点P为且|PA|＝＝.故发电站应建在小路以西公里处的河边，它距两村的距离为公里．
