3.3.1两条直线的交点坐标3.3.2两点间的距离【基础练习】1．(2019年甘肃兰州期末)直线2x－y＝7与直线3x＋2y－7＝0的交点坐标是()A．(3，－1)B．(－1,3)C．(－3，－1)D．(3,1)【答案】A【解析】由解得即两条直线的交点坐标是(3，－1)．故选A．2．(2019年湖南衡阳期末)两直线2x＋3y－k＝0和x－ky＋12＝0的交点在y轴上，那么k的值为()A．6B．－6C．±6D．0【答案】C【解析】在2x＋3y－k＝0中，令x＝0得y＝，将代入x－ky＋12＝0，解得k＝±6.3．以A(5,5)，B(1,4)，C(4,1)为顶点的三角形是()A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形【答案】B【解析】∵|AB|＝，|AC|＝，|BC|＝3，∴三角形为等腰三角形．故选B．4．已知A，B两点分别在两条互相垂直的直线2x－y＝0和x＋ay＝0上，若线段AB的中点为P，则线段AB的长为()A．6B．8C．10D．12【答案】C【解析】依题意得a＝2，P(0,5)．设A(x,2x)，B(－2y，y)，故解得则A(4,8)，B(－4,2)，∴|AB|＝＝10.5．已知点A(－2，－1)，B(a,3)，且|AB|＝5，则a的值为________．【答案】1或－5【解析】∵|AB|＝＝5，∴a＝－5或a＝1.6．若直线l：y＝kx－与直线2x＋3y－6＝0的交点位于第一象限，则k的取值范围是________．【答案】【解析】由得由于交点在第一象限，故解得k>.7．求证：不论m取什么实数，直线(2m－1)x－(m＋3)y－(m－11)＝0恒过定点，并求此定点坐标．【证明】方法一：令m＝得y＝3；令m＝－3得x＝2.两直线交点为(2,3)，将点(2,3)代入原直线方程，得(2m－1)×2－(m＋3)×3－(m－11)＝0恒成立，因此直线过定点(2,3)．方法二：(2m－1)x－(m＋3)y－(m－11)＝0化为2mx－x－my－3y－m＋11＝0，－x－3y＋11＋m(2x－y－1)＝0，由解得∴定点为(2,3)．8．已知点A(1，－1)，B(2,2)，点P在直线y＝x上，求|PA|2＋|PB|2取得最小值时点P的坐标．【解析】设P(2t，t)，则|PA|2＋|PB|2＝(2t－1)2＋(t＋1)2＋(2t－2)2＋(t－2)2＝10t2－14t＋10.当t＝时，|PA|2＋|PB|2取得最小值，此时有P，所以|PA|2＋|PB|2取得最小值时点P的坐标为.【能力提升】9．设A(－1,2)，B(3,1)，若直线y＝kx与线段AB没有公共点，则k的取值范围是()A．(－∞，－2)∪B．∪(2，＋∞)C．D．【答案】C【解析】如图所示，直线y＝kx过定点O(0,0)，kOA＝－2，kOB＝.若直线y＝kx与线段AB没有公共点，则直线OA逆时针旋转(斜率增大)到OB都是满足条件的直线(不包含直线OA与OB)，数形结合得k∈.10．直线x＋ky＝0,2x＋3y＋8＝0和x－y－1＝0交于一点，则k的值是()A．B．－C．2D．－2【答案】B【解析】由方程组得直线2x＋3y＋8＝0与x－y－1＝0的交点坐标为(－1，－2)，代入直线x＋ky＝0得k＝－.11．等腰△ABC的顶点是A(3,0)，底边|BC|＝4，BC边的中点为D(5,4)，则腰长为________．【答案】2【解析】|BD|＝|BC|＝2，|AD|＝＝2，在Rt△ADB中，由勾股定理得腰长为|AB|＝＝2.12．已知点M到点A(1,0)，B(a,2)及到y轴距离都相等，若这样的点M恰有一个，求a的值．【解析】设M(x，y)，由题意，得整理得消去x得(1－a)y2－4y＋a2－a＋4＝0.③当a＝1时，由③得y＝1，代入①得x＝1，即M(1,1)；当a≠1时，由③中Δ＝16＋4(a－1)(a2－a＋4)＝0，得a＝0，由③得y＝2，代入①得x＝，即M.综上所述，当a＝0或a＝1时，满足条件的点M恰有一个．
