3.1.2导数的概念A级基础巩固一、选择题1．如果函数y＝ax＋b在区间[1，2]上的平均变化率为3，则a＝()A．－3B．2C．3D．－2解析：根据平均变化率的定义，可知＝＝a＝3.答案：C2．已知函数f(x)＝2x2－1的图象上一点(1，1)及邻近一点(1＋Δx，1＋Δy)，则等于()A．4B．4xC．4＋2ΔxD．4＋2(Δx)2解析：Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝2(1＋Δx)2－1－1＝2(Δx)2＋4Δx，所以＝2Δx＋4.答案：C3．一直线运动的物体，从时间t到t＋Δt时，物体的位移为Δs，则为()A.从时间t到t＋Δt一段时间内物体的平均速度B．在t时刻时该物体的瞬时速度C．当时间为Δt时物体的速度D．在时间t＋Δt时刻物体的瞬时速度解析：由瞬时速度的求法可知，表示在t时刻时该物体的瞬时速度．答案：B4．函数f(x)在x0处可导，则()A．与x0、h都有关B．仅与x0有关，而与h无关C．仅与h有关，而与x0无关D．与x0、h均无关解析：因为f′(x0)＝，所以f′(x0)仅与x0有关，与h无关．答案：B5．已知f(x)＝x2－3x，则f′(0)＝()A．Δx－3B．(Δx)2－3ΔxC．－3D．0解析：f′(0)＝＝＝(Δx－3)＝－3.答案：C二、填空题6．如图，函数f(x)在A，B两点间的平均变化率是________．解析：函数f(x)在A，B两点间的平均变化率是＝＝＝－1.答案：－17．设函数y＝x2＋2x在某点的导数等于3，则该点的坐标是________．解析：f′(x)＝＝2x0＋2，又2x0＋2＝3，所以x0＝.所以该点的坐标为.答案：8．若函数y＝f(x)在x＝x0处的导数为－2，则lim＝________．解析：＝－＝－f′(x0)＝－×(－2)＝1.答案：1三、解答题9．若一物体的运动方程为s＝(路程单位：m，时间单位：s)．求：(1)物体在t＝3s到t＝5s这段时间内的平均速度；(2)物体在t＝1s时的瞬时速度．解：(1)因为Δs＝3×52＋2－(3×32＋2)＝48(m)，Δt＝2s，所以物体在t＝3s到t＝5s这段时间内的平均速度为＝＝24(m/s)．(2)因为从1s到(1＋Δt)s的位移为Δs＝29＋3[1＋Δt)－3]2－29－3×(1－3)2＝[3(Δt)2－12Δt](m)，所以平均速度为＝＝(3Δt－12)(m/s)，则物体在t＝1s时的瞬时速度为＝(3Δt－12)＝－12(m/s)．10．求函数y＝f(x)＝2x2＋4x在x＝3处的导数．解：Δy＝2(3＋Δx)2＋4(3＋Δx)－(2×32＋4×3)＝12Δx＋2(Δx)2＋4Δx＝2(Δx)2＋16Δx，所以＝＝2Δx＋16.所以y′|x＝3＝＝(2Δx＋16)＝16.B级能力提升1．设函数f(x)在点x0附近有定义，且有f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b为常数)，则()A．f′(x)＝aB．f′(x)＝bC．f′(x0)＝aD．f′(x0)＝b解析：＝＝a＋bΔx.所以f′(x0)＝(a＋bΔx)＝a.答案：C2．将半径为R的球加热，若半径从R＝1到R＝m时球的体积膨胀率为，则m的值为________．解析：ΔV＝m3－×13＝(m3－1)，所以＝＝π.所以m2＋m＋1＝7.所以m＝2或m＝－3(舍去)．答案：23．已知f(x)＝x2，g(x)＝x3，求满足f′(x)＋2＝g′(x)的x的值．解：由导数的定义知，f′(x)＝＝2x，g′(x)＝＝3x2.因为f′(x)＋2＝g′(x)，所以2x＋2＝3x2.即3x2－2x－2＝0，解得x＝或x＝.
