课时作业23单调性的定义与证明(2)时间：45分钟分值：100分1．已知函数f(x)＝则f(x)的最大值、最小值分别为(A)A．10,6B．10,8C．8,6D．9,6解析：借助f(x)的图像，可得最大值是10，最小值是6.故选A.2．函数y＝(x≠－2)在区间[0,5]上的最大值、最小值分别是(C)A.，0B.，0C.，D．最小值为－，无最大值解析：因为函数y＝在区间[0,5]上单调递减，所以当x＝0时，ymax＝，当x＝5时，ymin＝.选C.3．已知函数f(x)＝，x∈[0,1]，若f(x)的最小值为，则实数m的值为(C)A.B.C.3D.或34．函数f(x)＝的最大值是(A)A.B.C.D.5．设函数f(x)＝在区间[3,4]上的最大值和最小值分别为M，m，则等于(D)A.B.C.D.6．一次函数f(x)＝(3a－2)x＋1－a，在[－2,3]上的最大值是f(－2)，则实数a的取值范围是(D)A．a≥B．a>C．a≤D．a<解析：因为一次函数f(x)＝(3a－2)x＋1－a，在[－2,3]上的最大值是f(－2)，则函数f(x)在[－2,3]上为减函数，则3a－2<0，解得a<，故选D.7．函数f(x)＝在[1，b](b>1)上的最小值是，则b＝4.解析：函数f(x)＝在[1，b](b>1)上单调递减，即有f(b)＝最小，且为.解得b＝4.8．已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0,3]，若f(x)有最小值－2，则f(x)的最大值为2.解析：二次函数y＝f(x)在[0,2]上单调递增，在(2,3]上单调递减．故在x＝0时取得最小值，即a＝－2.f(x)max＝f(2)＝－4＋8－2＝2.9．设函数f(x)＝|x－1|在x∈[t，t＋4](t∈R)上的最大值为M(t)，则M(t)的最小值为2.解析：作出函数f(x)＝|x－1|的图像，如图所示，当t＋4≤1(即t≤－3)时，f(x)在[t，t＋4]递减，可得最大值M(t)＝f(t)＝|t－1|＝1－t，由M(t)在t≤－3递减，可得M(t)≥4，即最小值为4；当t≥1时，f(x)在[t，t＋4]递增，可得最大值M(t)＝f(t＋4)＝|t＋3|＝t＋3，由M(t)在t≥1递增，可得M(t)≥4，即最小值为4；当t<1
f(t＋4)，f(x)的最大值M(t)＝f(t)＝1－t，且M(t)∈(2,4)．综上可得M(t)的最小值为2.三、解答题共计40分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤10．(10分)已知函数f(x)＝x＋.(1)求证：f(x)在[1，＋∞)上是增函数；(2)求f(x)在[1,4]上的最大值与最小值．解：(1)证明：任取x1，x2∈[1，＋∞)且x11，∴x1x2－1>0，∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)4－2a时，即a>3时，M＝f(1)＝1－a，当1－a≤4－2a时，即a≤3时，M＝f(2)＝4－2a，因为M＝f(2)，所以a的取值范围为(－∞，3]．(2)证明：①当≥2时，即a≥4时，f(x)在[1,2]上单调递减，所以M＝f(1)＝1－a，m＝f(2)＝4－2a，所以M－m＝1－a－4＋2a＝a－3≥1>；②当≤1时，即a≤2时，f(x)在[1,2]上单调递增，所以M＝f(2)＝4－2a，m＝f(1)＝1－a，所以M－m＝4－2a－1＋a＝3－a≥1>；③当21，所以(a－4)2>，M－m>；④当3≤a<4时，M＝f(1)＝1－a，m＝f()＝－a2，所以M－m＝1－a＋a2＝(a－2)2，y＝1－a＋a2在[3,4)上为增函数，所以ymin＝，综上所述M－m≥.
