第1课时单调性的定义与证明A级：“四基”巩固训练一、选择题1．函数y＝x2＋x＋1(x∈R)的递减区间是()A.B．[－1，＋∞)C.D．(－∞，＋∞)答案C解析∵y＝x2＋x＋1＝2＋，其图像的对称轴为直线x＝－，在对称轴左侧单调递减，∴当x≤－时，函数单调递减．2．下列函数中，在区间(0,1)上是增函数的是()A．y＝|x|B．y＝3－xC．y＝D．y＝－x2＋4答案A解析B项在R上为减函数；C项在(－∞，0)上和(0，＋∞)上为减函数；D项在(－∞，0)上为增函数，在(0，＋∞)上为减函数；A项在(0，＋∞)上为增函数．故选A.3．函数y＝f(x)在R上为增函数，且f(2m)>f(－m＋9)，则实数m的取值范围是()A．(－∞，－3)B．(0，＋∞)C．(3，＋∞)D．(－∞，－3)∪(3，＋∞)答案C解析因为函数y＝f(x)在R上为增函数，且f(2m)>f(－m＋9)，所以2m>－m＋9，即m>3.4．若函数f(x)在区间(－2,3)上是增函数，则y＝f(x＋5)的递增区间是()A．(3,8)B．(－7，－2)C．(－2，－3)D．(0,5)答案B解析∵函数f(x)的增区间为(－2,3)，则f(x＋5)的递增区间满足－2
0时，y＝ax＋1在[1,2]上为增函数，所以2a＋1－(a＋1)＝2，解得a＝2；当a<0时，y＝ax＋1在[1,2]上为减函数，所以a＋1－(2a＋1)＝2，解得a＝－2，故a＝±2.二、填空题6．设函数y＝f(x)的定义域为[－4,6]，且在区间[－4，－2]上递减，在区间[－2,6]上递增，且f(－4)0，则f(－3)与f(－π)的大小关系是______．答案f(－3)>f(－π)解析由(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，可知函数f(x)为增函数．又－3>－π，所以f(－3)>f(－π)．8．已知函数f(x)＝是R上的减函数，则实数a的取值范围是________．答案(0,2]解析依题意得实数a应满足解得00，x2－x1>0,＋>0.∴f(x2)－f(x1)>0，即f(x2)>f(x1)，故函数f(x)在[1，＋∞)上是增函数．10．已知函数f(x)＝(1)画出函数f(x)的图像；(2)写出函数f(x)的单调递增区间及最大值和最小值．解(1)函数f(x)的图像如下图．(2)函数f(x)在[－1,0]和[2,5]上为增函数，在(0,2)上为减函数，所以函数f(x)的单调递增区间为[－1,0]和[2,5]．由图像知f(x)max＝f(0)＝3，f(x)min＝f(2)＝－1.B级：“四能”提升训练1．设函数f(x)＝，其中a∈R.(1)当a＝1时，讨论函数f(x)的单调性并用定义给予证明；(2)若函数f(x)在区间(0，＋∞)上是单调减函数，求实数a的取值范围．解(1)当a＝1时，f(x)＝1－在(－∞，－1)上单调递增，在(－1，＋∞)上单调递增．设x1，x2是区间(－1，＋∞)上的任意两个实数，且x10，x2＋1>0，所以<0，所以f(x1)－f(x2)<0，所以f(x1)0，x2＋1>0.若使f(x)在(0，＋∞)上是减函数，只要f(x1)－f(x2)>0.而f(x1)－f(x2)＝，所以当a＋1<0，即a<－1时，有f(x1)－f(x2)>0.所以f(x1)>f(x2)．所以当a<－1时，f(x)在区间(0，＋∞)上是单调减函数．即所求实数a的取值范围是(－∞，－1)．2．已知函数f(x)对任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x>0时，f(x)<0，f(1)＝－.(1)求证：函数f(x)是R上的单调递减函数；(2)求函数f(x)在[－3,3]上的最小值．解(1)证明：设x1和x2是任意的两个实数，且x10，因为x>0时，f(x)<0，所以f(x2－x1)<0.又因为x2＝(x2－x1)＋x1，所以f(x2)＝f[(x2－x1)＋x1]＝f(x2－x1)＋f(x1)，所以f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)<0，所以f(x2)
