2016-2017学年高中数学第三章不等式3.4.2简单线性规划课后演练提升北师大版必修5一、选择题(每小题5分，共20分)1．若x，y∈R，且则z＝x＋2y的最小值等于()A．2B．3C．5D．9解析：作出可行域如图所示，目标函数y＝－x＋z，则过B(1,1)时z取最小值zmin＝3.答案：B2．若实数x，y满足不等式组则x＋y的最大值为()A．9B.C．1D.解析：作出可行域如图所示令z＝x＋y，则y＝－x＋z，∴y＝－x＋z过A(4,5)时，z取最大值zmax＝9.答案：A3．若实数x，y满足则的取值范围是()A．(－1,1)B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C．(－∞，－1)D．[1，＋∞)解析：可行域如图阴影，的几何意义是区域内点与(1,0)连线的斜率，易求得＞1或＜－1.答案：B4．若实数x，y满足不等式组且x＋y的最大值为9，则实数m＝()A．－2B．－1C．1D．2解析：令z＝x＋y，则y＝－x＋z，斜率为－1的直线向上平移时z逐渐增大，则过直线2x－y－3＝0与x－my＋1＝0的交点时z取到最大值联立，可得y＝，x＝，x＋y＝＝9，解得m＝1.答案：C二、填空题(每小题5分，共10分)5．已知则x2＋y2的最小值是________．解析：画出所表示的平面区域如图所示：由解得A(1,2)．而x2＋y2表示阴影部分的点到原点的距离的平方，由图可知A点到原点的距离为，∴x2＋y2的最小值为5.答案：56．线性目标函数z＝3x＋2y，在线性约束条件下取得最大值时的最优解只有一个，则实数a的取值范围是________．解析：作出线性约束条件表示的平面区域，如图中阴影部分所示．因为取得最大值时的最优解只有一个，所以目标函数对应的直线与平面区域的边界线不平行，根据图形及直线的斜率，可得实数a的取值范围是[2，＋∞)．答案：[2，＋∞)三、解答题(每小题10分，共20分)7．设z＝2x＋y，此函数解析式中变量x、y满足下列条件：求z的最大值和最小值．针对上述问题，请指出该问题中的目标函数、可行解、可行域以及最优解．解析：作出二元一次不等式组所表示的平面区域(如图所示)，即为可行域；z＝2x＋y即为目标函数；阴影部分内的每一组(x，y)均为可行解．考虑z＝2x＋y，将它变形为y＝－2x＋z，这是斜率为－2，随z变化的一族平行直线，z是直线在y轴上的截距，当直线截距最大时，z的值最大．在直线与平行域相交的条件下，即在满足约束条件时目标函数z＝2x＋y取得最大值；当直线截距最小时，z的值最小，即在满足约束条件时目标函数z＝2x＋y取得最小值．由图可见，当直线z＝2x＋y经过可行域上的A点时，截距最大，即z最大．解方程组得A的坐标为(5,2)．所以zmax＝2×5＋2＝12.当直线z＝2x＋y经过可行域上的点B时，截距最小，即z最小．解方程组得B的坐标为(1,1)．所以zmin＝2x＋y＝2×1＋1＝3.故使z＝2x＋y取得最大值的最优解为(5,2)，取得最小值的最优解为(1,1)．8．已知x、y满足.(1)求z＝x2＋y2＋2x－2y＋2的最小值；(2)求z＝|x＋2y－4|的最大值．解析：作出可行域，如图所示．(1)∵z＝()2，∴z可看作是可行域内任一点(x，y)到点M(－1,1)的距离的平方．由图可知zmin等于点M到直线x＋y－4＝0的距离的平方．∴zmin＝2＝8.(2)方法一：作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．z＝|x＋2y－4|＝·，即其几何含义为该平面区域内的点到直线x＋2y－4＝0的距离的倍．由，得B点坐标为(7,9)，显然点B到直线x＋2y－4＝0的距离最大，此时zmax＝21.方法二：由图可知，区域内的点都在直线x＋2y－4＝0的上方，显然此时有x＋2y－4＞0，于是目标函数等价于z＝x＋2y－4，即转化为一般的线性规划问题．显然当直线经过点B时，目标函数取得最大值为zmax＝21.☆☆☆9．(10分)已知函数f(x)＝ax2－c(a≠0)满足－4≤f(1)≤－1，－1≤f(2)≤5，试求f(3)的取值范围．解析：因为f(x)＝ax2－c(a≠0)，所以又因为－4≤f(1)≤－1，－1≤f(2)≤5，所以根据不等式组作出可行域，如图中阴影部分所示．根据题意可得，目标函数为f(3)＝9a－c.作直线l：9a－c＝0，当直线l向右平移时，所对应的f(3)＝9a－c的函数值随之增大，所以当直线l经过可行域的顶点B时，f(3)＝9a－c取得最大值．解方程组得B(3,7)，代入f(3)＝9a－c，得f(3)max＝9×3－7＝20.当直线l向左平移时，所对应的f(3)＝9a－c的函数值随之减小，所以当直线l经过可行域的顶点A时，f(3)＝9a－c取得最小值．解方程组得A(0,1)，代入f(3)＝9a－c，得f(3)min＝9×0－1＝－1.所以f(3)的取值范围为[－1,20]．
