高中数学 第三章 三角恒等变换 3.3 二倍角的三角函数例题与探究（含解析）北师大版必修4-北师大版高一必修4数学试题VIP免费

3.3二倍角的三角函数典题精讲例1化简=__________________.思路分析：==|sin49°+cos49°|=sin49°+cos49°=sin(49°+45°)=sin94°=cos4°.答案：cos4°变式训练(湖北高考卷，理3)若△ABC的内角A满足sin2A=，则sinA+cosA的值为（）A.B.-C.D.-思路分析： sin2A=2sinAcosA＞0，∴cosA＞0.∴sinA+cosA＞0.∴1+sin2A=(sinA+cosA)2.∴1+=(sinA+cosA)2.∴(sinA+cosA)2=.∴sinA+cosA=.答案：A例2求下列各式的值.（1）coscos；（2）（cos-sin）（cos+sin）；（3）-cos2；（4）-+cos215°.思路分析：（1）题添加系数2，即可逆用倍角公式；（2）题利用平方差公式之后再逆用倍角公式；（3）中提取系数2后产生倍角公式的形式；（4）则需提取系数.解：（1）coscos=cossin=×2cossin=sin=.（2）（cos-sin）（cos+sin）=cos2-sin2=cos=.（3）-cos2=-（2cos2-1）=-cos=-.（4）-+cos215°=（2cos215°-1）=cos30°=.绿色通道：根据式子本身的特征，经过适当变形，进而利用公式，同时制造出特殊角，获得式子的值，在变形中一定要整体考虑式子的特征.变式训练求sin10°sin30°sin50°sin70°的值.思路分析：由sin30°=，原式可化为sin10°sin50°sin70°，再转化为cos20°cos40°cos80°，产生成倍数的角，增加一项sin20°，即可依次逆用倍角公式；也可使用三角中的对偶式，设而不求，达到变形的目的.解法一：sin10°sin30°sin50°sin70°=cos20°cos40°cos80°====.解法二：令M=sin10°sin30°sin50°sin70°，N=cos10°cos30°cos50°cos70°，则MN=(sin10°cos10°)(sin30°cos30°)(sin50°cos50°)(sin70°cos70°)=sin20°sin60°sin100°sin140°=cos10°cos30°cos50°cos70°=N.∴M=，即sin10°sin30°sin50°sin70°=.例3(2005江苏高考卷，10)若sin（-α）=，则cos（+2α）的值为（）A.B.-C.D.思路分析：观察发现+2α=2(+α)，而(+α)+(-α)=，则cos(+α)=sin(-α),cos（+2α）=2cos2(+α)-1=2sin2(-α)-1=.答案：A绿色通道：通过角的形式的变化，生成所求的角或再变形即得所求角，是三角变换的重要方式，求解时应当对所给角有敏锐的感觉，这种感觉的养成要靠平时经验的积累.变式训练1已知sin（+α）sin（-α）=，且α∈（，π），求sin4α的值.思路分析：发现+α与-α是互余关系，将其中一个角的三角函数变为另一个的余名三角函数，即可产生倍角公式的形式，逆用倍角公式可得2α的三角函数值，进一步可求4α的正弦值.解： （+α）+（-α）=，∴sin（-α）=cos（+α）. sin（+α）sin（-α）=，∴2sin（+α）cos（+α）=.∴sin（+2α）=.∴cos2α=.又 α∈（，π），∴2α∈（π，2π）.∴sin2α=.∴sin4α=2sin2αcos2α=.变式训练2设5π＜θ＜6π，cos=a，则sin的值等于（）A.B.C.D.思路分析：显然是的一半，可以直接应用公式. 5π＜θ＜6π，∴＜＜3π,＜＜.∴sin=.答案：D例4(2006全国高考卷Ⅱ,理2)函数y=sin2xcos2x的最小正周期是（）A.2πB.4πC.D.思路分析：将函数的解析式化为y=Asin(ωx+φ)的形式.y=sin2xcos2x=sin4x，则T=.答案：D绿色通道：讨论三角函数的周期性时，先化简解析式再求周期.化简的手段是：利用和差、倍角、半角等三角公式；化简的结果是：将三角函数的解析式化为y=Asin(ωx+φ)的形式，再利用公式T=得周期.变式训练(2006陕西高考卷，理17)已知函数f(x)=sin(2x-)+sin2(x-)(x∈R).（1）求函数f(x)的最小正周期；（2）求使函数f(x)取得最大值的x集合.思路分析：将三角函数的解析式化为y=Asin(ωx+φ)+b的形式,再讨论周期和最值.解：(1)f(x)=sin(2x-)+1-cos(x-)=2[sin(x-)-cos(x-)]+1=2sin[2(x-)-]+1=2sin(2x-)+1,∴T==π.(2)当f(x)取最大值时，sin(2x-)=1，有2x-=2kπ+(k∈Z).∴x=kπ+.即使函数f(x)取得最大值的x集合为{x∈R|x=kπ+，k∈Z}.问题探究问题试用tan表示sinα,cosα,tanα.导思：看到α和，联想到α=2()，因此从二倍角公式的角度来探讨.探究：可以由倍角公式直接获得tanα=；正弦、余弦只要在倍角公式中添加分母，再分子、分母同除以cos2可得sinα=2sincos=，cosα=cos2-sin2=.用tan来表示sinα、cosα和tanα的关系式如下：sinα=tanα=.这三个公...