高中数学 第三章 三角恒等变换 3.2 倍角公式和半角公式例题与探究 新人教B版必修4-新人教B版高一必修4数学试题VIP专享VIP免费

3.2倍角公式和半角公式典题精讲例1求下列各式的值：(1)coscos；(2)(cos-sin)(cos+sin)；(3)-cos2；(4)-+cos215°.思路分析:本题考查倍角公式的变形及应用.(1)题添加系数2，即可逆用倍角公式；(2)题利用平方差公式之后再逆用倍角公式；(3)中提取系数后产生倍角公式的形式；(4)则需提取系数.解:(1)coscos=cossin=×2cossin=sin=；(2)(cos-sin)(cos+sin)=cos2-sin2=cos=；(3)-cos2=-(2cos2-1)=-cos=-；(4)-+cos215°=(2cos215°-1)=cos30°=.绿色通道:根据式子本身的特征，经过适当变形，进而利用公式，同时制造出特殊角，获得式子的值，在变形中一定要整体考虑式子的特征.变式训练1求sin10°sin30°sin50°sin70°的值.思路分析:由sin30°=，原式可化为sin10°sin50°sin70°，再转化为cos20°cos40°cos80°，产生成倍数的角，增加一项sin20°，即可依次逆用倍角公式；也可使用三角中的对偶式，设而不求，达到变形的目的.解法一：sin10°sin30°sin50°sin70°=cos20°cos40°cos80°=====.解法二：令M=sin10°sin30°sin50°sin70°，N=cos10°cos30°cos50°cos70°，则MN=(sin10°cos10°)(sin30°cos30°)(sin50°cos50°)(sin70°cos70°)=sin20°sin60°sin100°sin140°=cos10°cos30°cos50°cos70°=N，∴M=，即sin10°sin30°sin50°sin70°=.例2(2005江苏高考卷，10)若sin(-α)=，则cos(+2α)等于()A.-B.-C.D.思路解析:本题考查三角函数的恒等变换以及运算能力.观察发现+2α=2(+α)，而(+α)+(-α)=，则cos(+α)=sin(-α)，cos(+2α)=2cos2(+α)-1=2sin2(-α)-1=-.答案:A绿色通道:通过角的形式的变化，生成所求的角或再变形即得所求角，是三角变换的重要方式，求解时应当对所给角有敏锐的感觉，这种感觉的养成要靠平时经验的积累.变式训练1已知sin(+α)sin(-α)=，且α∈(，π)，求sin4α的值.思路分析:发现+α与-α的互余关系，将其中一个角的三角函数变为另一个的余名三角函数，即可产生倍角公式的形式，逆用倍角公式可得2α的三角函数值，进一步可求4α的正弦值.解: (+α)+(-α)=，∴sin(-α)=cos(+α). sin(+α)sin(-α)=，∴2sin(+α)cos(+α)=.∴sin(+2α)=.∴cos2α=.又 α∈(，π)，∴2α∈(π，2π).∴sin2α=-=-.∴sin4α=2sin2αcos2α=-.变式训练2设5π＜θ＜6π，cos=a，则sin的值等于()A.-B.-C.-D.-思路解析:显然是的一半，可以直接应用公式. 5π＜θ＜6π，∴＜＜3π，＜＜.∴sin=-=-.答案:D例3(2006全国高考卷Ⅱ，理2)函数y=sin2xcos2x的最小正周期是()A.2πB.4πC.D.思路解析:考查三角函数的周期性.将函数的解析式化为y=Asin(ωx+φ)的形式.y=sin2xcos2x=sin4x，则T==.答案:D绿色通道:讨论三角函数的周期性时，先化简解析式再求周期.化简的手段是：利用和差、倍角、半角等三角公式.化简的结果是：将三角函数的解析式化为y=Asin(ωx+φ)的形式,再利用公式T=得周期.变式训练(2006陕西高考卷，理17)已知函数f(x)=sin(2x-)+2sin2(x-)(x∈R).(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求使函数f(x)取得最大值的x的集合.思路分析:将三角函数的解析式化为y=Asin(ωx+φ)+b的形式,再讨论周期和最值.解:(1)f(x)=sin(2x-)+1-cos2(x-)=2［sin2(x-)-cos2(x-)］+1=2sin［2(x-)-］+1=2sin(2x-)+1，∴T==π.(2)当f(x)取最大值时,sin(2x-)=1,有2x-=2kπ+(k∈Z).∴x=kπ+，即使函数f(x)取得最大值的x的集合为{x∈R|x=kπ+(k∈Z)}.问题探究问题1试用tan表示sinα,cosα,tanα.导思:看到α和，联想到α=2()，因此从二倍角公式的角度来探讨.探究:可以由倍角公式直接获得tanα=；正弦、余弦只要在倍角公式中添加分母，再将分子、分母同除以cos2可得：sinα=2sincos==，cosα=cos2-sin2==.用tan来表示sinα、cosα和tanα的关系式如下：sinα=，cosα=，tanα=.这三个公式统称为“万能公式”.其优点是用正切函数来求二倍角的三角函数值会特别方便，也为一类三角函数的求值提供了一座方便可行的桥梁.如要计算cosα或sin(α+β)的值，可以先设法求得tan或tan的值.由于公式中涉及角的正切，所以使用时要注意限制条件，即要保证式子有意义.所谓的“万能”是指：不论角α的哪一种三角函数...