3.2两角和与差的正切函数5分钟训练(预习类训练，可用于课前)1.若=4+，则tan（-A）的值为（）A.B.C.D.解析：tan（-A）=.答案：B2.计算tan20°+tan40°+tan20°tan40°=_____________.解析:tan60°=tan（20°+40°）=，则tan20°+tan40°=（1-tan20°tan40°）=tan20°tan40°，因此tan20°+tan40°+tan20°tan40°=.答案:3.当α=40°时,=________________.解析:原式=tan［(2α+β)+(α-β)］=tan3α=tan120°=-tan60°=.答案:10分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.如果tan（α+β）=，tan（β-）=，那么tan（α+）等于（）A.B.C.D.解析：tan（α+）=tan［（α+β）-（β）］=.答案：C2.已知，则cot（+α）的值等于（）A.B.C.D.解析:由,可知，tan（-α）=.而-α与+α互为余角，则有cot（+α）=tan（-α）=.答案：A3.=_________________.解析：原式==-tan（45°-15°）=.答案:4.求证：（1+tan22°）（1+tan23°）=2.证明：∵22°+23°=45°，∴tan（22°+23°）=.∴1-tan22°tan23°=tan22°+tan23°.左边=（1+tan22°）（1+tan23°）=1+tan22°+tan23°+tan22°tan23°=2=右边.5.已知tan(α+β)=5,tan(α-β)=3,求tan2α,tan2β,tan(2α+).解:tan2α=tan［(α+β)+(α-β)］=.tan2β=tan［(α+β)-(α-β)］=.tan(2α+)=.30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1.若0＜α＜,0＜β＜,且tanα=,tanβ=,则α+β等于（）A.B.C.D.解析:∵tanα=,tanβ=,∴tan(α+β)==1.又∵0<α<,0<β<,∴0<α+β<π.而在(0,π)内只有tan=1.∴α+β=.答案:B2.在△ABC中，已知tanA、tanB是方程3x2+8x-1=0的两个根，则tanC等于（）A.2B.-2C.4D.-4解析:由于tanA、tanB是方程3x2+8x-1=0的两个根，根据韦达定理，有tanA+tanB=，tanA·tanB=.则tanC=tan［π-（A+B）］=-tan（A+B）=.答案:A3.（1+tan1°）（1+tan2°）…（1+tan44°）（1+tan45°）=_____________.解析:原式=（1+tan1°）（1+tan2°）（1+tan3°）+…+（1+tan44°）（1+tan45°）=［（1+tan1°）（1+tan44°）］…［（1+tan22°）（1+tan23°）］·（1+tan45°）=2·2·…·2=223.4.tan70°+tan50°tan50°·tan70°=_______________.解析:原式=tan(70°+50°)(1-tan70°tan50°)-tan70°tan50°=(1-tan70°tan50°)tan70°tan50°=.答案:5.如果α、β、γ都是锐角，并且它们的正切分别为、、，求证：α+β+γ=45°.证明：由于tanα=，tanβ=，可知tan（α+β）=.由题意可知tanγ=，则tan（α+β+γ）=tan［（α+β）+γ］==1.根据α、β、γ都是锐角，且0＜tanα=＜1，0＜tanβ=＜1，0＜tanγ=＜1，可知0°＜α＜45°，0°＜β＜45°，0°＜γ＜45°,得0＜α+β+γ＜135°.所以，α+β+γ=45°.6.求证：tan（A-B）+tan（B-C）+tan（C-A）=tan（A-B）·tan（B-C）·tan（C-A）.证明：（A-B）+（B-C）=A-C.由两角和的正切公式变形为tan［（A-B）+（B-C）］=.∴tan（A-B）+tan（B-C）=tan（A-C）·［1-tan（A-B）·tan（B-C）］.左=tan（A-C）［1-tan（A-B）·tan（B-C）］+tan（C-A）=tan（A-C）-tan（A-C）·tan（A-B）·tan（B-C）+tan（C-A）=tan（C-A）·tan（A-B）·tan（B-C）=右.7.已知α∈(0,),β∈(0,π),且tan(α-β)=,tanβ=，求tan(2α-β)的值及角2α-β.解:tanα=tan［(α-β)+β］=.tan(2α-β)=tan［α+(α-β)］==1.又β∈(0,π),tanβ=<0,∴β∈(,π).∵α∈(0,),∴2α∈(0,).∴2α-β∈(-π,0).∴2α-β=π.8.已知sinα=(90°＜α＜180°),cosβ=(270°＜β＜360°),求tan(α+β)和tan(α-β)的值.解:∵sinα=,90°<α<180°,∴cosα=.∴tanα=.∵cosβ=,270°<β<360°,∴sinβ=.∴tanβ=.∴tan(α+β)==.tan(α-β)=.9.设一元二次方程mx2+(2m-1)x+(m+1)=0的两根为tanα、tanβ,求tan(α+β)的取值范围.解:因为tanα、tanβ为方程的两根,则有Δ=(2m-1)2-4m(m+1)≥0,且m≠0,解得m≤,m≠0,所以m∈(-∞,0)∪(0,］.由韦达定理得tanα+tanβ=,tanα·tanβ=,于是,tan(α+β)==.因为2m-1≤2×-1=-且2m-1≠-1,所以tan(α+β)的取值范围是(-∞,-1)∪(-1,-］.
