高中数学 第三章 三角恒等变换 3.2 两角和与差的三角函数优化训练 北师大版必修4-北师大版高一必修4数学试题VIP免费

3.2两角和与差的三角函数5分钟训练(预习类训练，可用于课前)1.cosα=，sinβ=，α∈（，π），β∈（，2π），则cos（α-β）的值是（）A.1B.-1C.2D.0解析：由α∈(,π)，β∈（，2π），cosα=,sinβ=得sinα=，cosβ=cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ==-1.答案：B2.化简sin（A-B）·cosB+cos（A-B）·sinB的结果应为（）A.1B.cosAC.sinAD.sinA·cosB解析:原式=sin(A-B+B)=sinA.答案：C3.已知cosθ=,θ∈(,π),则sin(θ+)=_______________.解析:∵cosθ=,θ∈(,π),∴sinθ=.∴sin(θ+）=sinθcos+cosθsin=×+()×=.答案:4.已知锐角α,β满足sinα=,cosβ=,求cos(α-β)的值.解:∵sinα=,α为锐角,∴cosα=.∵cosβ=,β为锐角,∴sinβ=.∴cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=.10分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.的化简结果为（）A.B.C.D.解析：原式=.答案：A2.sin22°sin23°-cos23°cos22°的值为（）A.B.C.D.解析：原式=-（cos23°cos22°-sin22°sin23°）=-cos45°=.答案：D3.sin=__________________.解析：，.原式变形为.答案:4.已知＜β＜α＜，cos（α-β）=，sin（α+β）=，求sin2α的值与cos2α的值.解：（α+β）+（α-β）=2α，＜β＜α＜，则π＜α+β＜，0＜α-β＜.∵cos（α-β）=，sin（α+β）=，∴sin（α-β）=，cos（α+β）=，sin2α=sin［（α+β）+（α-β）］=，cos2α=cos［（α+β）+（α-β）］=.5.化简:sinα-cosα.解:sinα-cosα=2(sinαcosα)=2(sinα·cos-cosα·sin)=2sin(α-).6.已知α、β均为锐角,cosα=,cos(α+β)=,求cosβ的值.解:∵α、β均为锐角,∴0<α+β<π.∵cosα=,cos(α+β)=,∴sinα=,sin(α+β)=.∴cosβ=cos［(α+β)-α］=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=×.30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1.已知sinα·sinβ=1，那么cos（α+β）的值等于（）A.-1B.0C.1D.±1解析：正弦函数的值域为［-1，1］.由sinα·sinβ=1，得sinα=1且sinβ=1或sinα=-1且sinβ=-1，只有这两种情况.∴cos（α+β）=cosα·cosβ-sinα·sinβ=-1.答案：A2.要使sinα-cosα=有意义，则m的取值范围是（）A.（-∞，］B.（1，+∞）C.［-1，］D.（-∞，-1］∪［，+∞）解析：sinα-cosα=2sin（α-）=.利用三角函数的有界性,由-1≤sin（α-）≤1，求得-1≤m≤.答案：C3.若cosα=,α∈(,2π),则cos(-α)=__________________.解析:∵cosα=,α∈(,2π),∴sinα=.∴cos(-α)=coscosα+sinsinα=×+×()=.答案:4.已知sinα=,sinβ=,则sin(α+β)·sin(α-β)=_______________.解析:sin(α+β)·sin(α-β)=(sinα·cosβ+cosα·sinβ)·(sinα·cosβ-cosα·sinβ)=sin2α·cos2β-cos2α·sin2β=sin2α(1-sin2β)-(1-sin2α)·sin2β=sin2α-sin2β=.答案:5.在△ABC中，sinA=cosB·cosC，且B≠，C≠，求tanB+tanC的值.解：在△ABC中，A+B+C=π，B+C=π-A.sinA=sin（π-A）=sin（B+C）=sinB·cosC+cosB·sinC=cosB·cosC，即sinB·cosC+cosB·sinC=cosB·cosC.∵B≠，C≠，∴cosB≠0，cosC≠0.上式两边同除以cosB·cosC，得tanB+tanC=1.6.求证：cos53°+sin53°=2cos7°.证明：左=cos53°+sin53°=2（cos53°+sin53°）=2（sin30°cos53°+cos30°sin53°）=2sin（30°+53°）=2sin83°=2cos7°=右.7.在△ABC中，已知sinA·sinB＜cosA·cosB，试判定三角形的形状.解：∵sinA·sinB＜cosA·cosB，∴cosA·cosB-sinA·sinB=cos（A+B）＞0.∴cosC=cos［π-（A+B）］=-cos（A+B）＜0.∵0＜C＜π，∴角C为钝角，则△ABC为钝角三角形.8.化简下列各式:(1)cosαsinα；(2)sinα-cosα；(3)cos(+φ)-cos(-φ).解:(1)cosα-sinα=2(cosα-sinα)=2(cosαcos-sinαsin)=2cos(α+).(2)sinα-cosα===.(3)cos(+φ)-cos(-φ)=(coscosφ-sinsinφ)-(coscosφ+sinsinφ)=-2sin·sinφ=sinφ.9.已知锐角α、β满足cosα=,cos(α+β)=,求sinβ.解:∵α为锐角,且cosα=,∴sinα=.∵α、β为锐角,且cos(α+β)=,∴0<α+β<π,sin(α+β)=.∴sinβ=sin［(α+β)-α］=sin(α+β)cosα-cos(α+β)sinα=··=.