高中数学 第三章 三角恒等变换 3.2 两角和与差的三角函数例题与探究（含解析）北师大版必修4-北师大版高一必修4数学试题VIP免费

3.2两角和与差的三角函数典题精讲例1计算.思路分析：10°、20°角直观上看似没有联系，但是两者的和角是30°为特殊角，所以把10°等价代换成30°-20°后就可以用两角差的公式化简.解：==.绿色通道：本题是无条件的三角函数求值问题，这是三角函数中的重要内容，是高考常考查的内容之一，对于这类非特殊角的三角函数式，求解具体数值一般有以下途径：（1）将非特殊角化为特殊角的和或差的形式；（2）化为正负相消的项，消项，求值；（3）化为分子、分母形式，进行约分求值；（4）利用诱导公式化任意角的三角函数为在［0,］内的三角函数；（5）特别注意诱导公式±α的应用；（6）化切函数为弦函数；（7）善于逆用和变形三角函数的和差公式.在进行求值过程中，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式，则整体变形，否则才进行各局部的变形.变式训练1(2006陕西高考卷，理)13cos43°cos77°+sin43°cos167°的值为_____________.思路分析：原式=cos43°cos77°+sin43°cos(90°+77°)=cos43°cos77°-sin43°sin77°=cos(43°+77°)=cos120°=-.答案：-变式训练2求sincos-sinsin的值.思路分析：观察分析这些角的联系，会发现=-，即与是互余的两角，因此可用诱导公式将sin变为cos，进而用和差角的正余弦公式求解.解：原式=sincos-sin（-）sin=sincos-cossin=sin（-）=sin=.例2(2006重庆高考卷，理13)已知α,β∈（,π），sin(α+β)=,sin（β-）=,则cos（α+）=________________.思路分析：利用α+=(α+β)-(β-)来求值. α,β∈（,π），∴(α+β)∈(,2π).∴cos(α+β)==.又(β-)∈(,)，∴cos(β-)=-.∴cos(α+)=cos［(α+β)-(β-)］=cos(α+β)cos(β-)+sin(α+β)sin(β-)=(-)+()=-.答案：-绿色通道：本题属于“知值求值”的题目，“变角”的技巧在三角函数求值以及证明中常用，因为变角后可充分利用已知条件中的三角函数值来计算或证明.常见的角的变换方式：α=(α+β)-β，2α=(α+β)+(α-β)，α+2β=(α+β)+β等等，变换的方式很多，需要自己慢慢的体会和探索.黑色陷阱：求解时如果将sin(α+β)和sin（β-）展开，通过解方程组求sinβ和cosβ，那么运算量很大，会因解方程组而陷入困境.变式训练1已知cosα=，cos（α+β）=，且α、β∈（0，），求cosβ的值.思路分析：观察得β=（α+β）-α，再利用两角差的余弦公式展开，求出结果.解： α、β∈（0，），∴0<α+β<π. cosα=，cos（α+β）=，∴sinα=，sin（α+β）=.∴cosβ=cos［（α+β）-α］=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=×+×=.∴cosβ=.变式训练2已知sinα+sinβ=，cosα+cosβ=，求cos（α-β）的值.思路分析：由于cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ，欲求cos（α-β）的值，只需要求出cosαcosβ+sinαsinβ的值，而要得到两组同名三角函数乘积，需将条件中的两式平方，再相加即得cosαcosβ+sinαsinβ的结果.解： (sinα+sinβ)2=，(cosα+cosβ)2=，∴sin2α+2sinαsinβ+sin2β=,①cos2α+2cosαcosβ+cos2β=.②①+②得2+2（cosαcosβ+sinαsinβ）=1，∴2+2cos（α-β）=1.∴cos（α-β）=-.例3已知锐角α、β满足sinα=，cosβ=，求α+β.思路分析：要求α+β的值，需先求α+β的一个三角函数值，再根据角的范围确定角的具体值.解： α、β是锐角，∴cosα=，sinβ=.∴cos（α+β）=cosαcosβ+sinαsinβ=·-·.由0＜α＜，0＜β＜，得到０＜α+β＜π.∴α+β=.绿色通道：本题是“知值求角”的题目.其解题策略是先求角的一个三角函数值，再由角的范围确定角的大小，通常情况下，所求的角是特殊角.选择求角的三角函数值方法：已知正切函数值，选择求正切函数；已知正、余弦函数值，选择求正弦或余弦函数.若角的范围是(0,)，有时选正弦函数，有时选余弦函数.若角的范围是(-,)，选正弦函数比余弦函数好；若角的范围是(0,π)，则选余弦函数比正弦函数好.黑色陷阱：本题若是改求sin(α+β)的值，则会得到α+β两个值，这样还要将α+β的范围(0,π)再缩小才行，问题就变得复杂了.变式训练1已知sinα=,sinβ=，且α和β均为钝角，求α＋β的值.思路分析：先求cos（α＋β）...