3.2两角和与差的三角函数自主广场我夯基我达标1.(福建高考卷，理3)已知α∈(,π),sinα=,则tan(α+)等于（）A.B.7C.-D.-7思路解析：由条件求出tanα，再计算tan(α+).∵α∈(,π),sinα=,∴cosα==-.∴tanα=-.∴tan(α+)=.答案：A2.当x∈［-,］时，函数f(x)=sinx+cosx的（）A.最大值为1，最小值为-1B.最大值为1，最小值为-C.最大值为2，最小值为-2D.最大值为2，最小值为-1思路解析：先化简再求最值.f(x)=sinx+3cosx=2sin(x+)，∵x∈［-,］,∴-≤x+≤.∴-1≤f(x)≤2.答案：D3.已知在△ABC中，满足tanAtanB＞1，则这个三角形一定是（）A.正三角形B.等腰直角三角形C.锐角三角形D.钝角三角形思路解析：此题限定条件是在三角形中，可以根据三角函数值的符号来判断角的范围.在三角形中，常用到三角形的内角和定理.可以将A+B+C=π等价转化成A=π-（B+C），然后用诱导公式化简整理.由于tanAtanB＞1，可知tanA＞0，且tanB＞0，则在△ABC中，A、B必定为锐角.又∵＞1，∴sinAsinB＞cosAcosB,得到cos（A+B）＜0.∴cos（π-C）＜0，即cosC＞0.则C也必定是锐角.因此△ABC是锐角三角形.答案：C4.要使得sinα-cosα=有意义，则m的取值范围是（）A.（-∞，］B.［1，+∞）C.［-1，］D.（-∞，-1）∪［，+∞)思路解析：利用三角函数的值域求m的取值范围.sinα-cosα=2（sinα-cosα）=2sin（α-）,∴2sin（α-）=，即sin（α-）=.∵-1≤sin（α-）≤1，∴-1≤≤1.解不等式，可得-1≤m≤.答案：C5.△ABC中，cosA=且cosB=，则cosC的值是______________.思路解析：由于在△ABC中，cosA=，可知A为锐角，∴sinA==.由于cosB=，可知B也为锐角，∴sinB==.∴cosC=cos［π-（A+B）］=-cos（A+B）=sinAsinB-cosAcosB=××=.答案：6.sin-cos=_______________.思路解析：方法一：对公式cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ逆用.sin-cos=2（sin-cos）=2（sinsin-coscos）=-2cos（+）=-2cos=-.方法二：利用=-来计算sin，sin-3cos=sin(-)-3cos(-)=-.答案：-7.(2006湖南常德一模)已知函数f(x)=-1+2sin2x+mcos2x的图象经过点A(0,1)，求此函数在［0,］上的最值.思路分析：先求m的值，再化简函数的解析式为y=Asin(ωx+φ)+b的形式求最值.解：∵A(0,1)在函数的图像上，∴1=-1+2sin0+mcos0.解得m=2.∴f(x)=-1+2sin2x+2cos2x=2(sin2x+cos2x)-1=22sin(2x+)-1.∵0≤x≤，∴≤2x+≤.∴-≤sin(2x+)≤1.∴-3≤f(x)≤-1.∴函数f(x)的最大值为-1，最小值是-3.我综合我发展8.已知cos（α+β）=，cos（α-β）=，求tanαtanβ的值.思路分析：化切为弦，就会发现要求tanαtanβ，就是求sinαsinβ和cosαcosβ的比值，因此，本题应该设法求出sinαsinβ和cosαcosβ.解：由已知,得cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ=，①cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ=，②①+②得cosαcosβ=，③①-②得sinαsinβ=.④④÷③即得tanαtanβ==,即tanαtanβ=.9.化简.思路分析：本题要观察出7°+8°=15°，利用这一关系，可以减少角的个数，解题过程中还需要应用两角和与差的正弦、余弦公式.解：==tan15°=tan(45°-30°)=.10.如果α、β、γ都是锐角，并且它们的正切分别为、、，求α+β+γ的值.思路分析：要求α+β+γ，先求tan（α+β+γ）.先根据α、β的正切值可以利用两角和的正切求出（α+β）的正切值，而α+β+γ又可以看作是两个角（α+β）与γ的和，再运用两角和的正切公式求解即可.但要注意确定出α+β+γ这个和的范围，才能证得结果.解：∵tanα=，tanβ=，∴tan（α+β）==.∴tan（α+β+γ）=tan［（α+β）+γ］=.又∵α、β、γ都是锐角且０＜tanα=＜1，0＜tanβ=＜1，0＜tanγ=＜1,∴0°＜α＜45°，0°＜β＜45°，0°＜γ＜45°.∴0＜α+β+γ＜135°.∴α+β+γ=45°.11.已知<α<，0<β<，cos(+α)=，sin(+β)=，求sin(α+β)的值.思路分析：利用角的变换：(+α)+(+β)=（α+β）+π.解：∵<α<，∴<+α<π.又∵cos(+α)=，∴sin(+α)=.∵0<β<，∴<+β＜π.又∵sin(+β)<π，∴cos(+β)=.∴sin(α+β)=-sin［π+(α+β)］=-sin［(+α)+(+β)］=-［sin(+α)cos(+β)+cos(+α)sin(+β)］=-［×(-)×］=.
