高中数学 第三章 三角恒等变换 3.1 同角三角函数的基本关系优化训练 北师大版必修4-北师大版高一必修4数学试题VIP免费

3.1同角三角函数的基本关系5分钟训练(预习类训练，可用于课前)1.下列结论能成立的是（）A.sinα=且cosα=B.tanα=2且C.tanα=1且cosα=D.sinα=1且tanα·cosα=1解析：同角三角函数的基本关系式中要注意理解“同角”的含义；关系式是指一个角的不同三角函数值之间的关系，这个角可以是任意角.答案：C2.（1）若tanα=-2且α为第二象限角，求sinα、cosα；（2）若tanα=-2，求sinα、cosα.解：（1）由题意和基本关系式可列下列方程组：由②得sinα=-2cosα，代入①式整理得5cos2α=1，cos2α=.又α为第二象限角，所以cosα=，sinα=.（2）由（1）可得cos2α=.又α可为第二、四象限角，所以当α为第二象限角时，cosα=，sinα=；当α为第四象限角时，cosα=，sinα=.3.已知x、y满足求x、y之间的函数关系式.解：由①：x2=9sin2θ，∴sin2θ=.③由②：y2=9cos2θ，∴cos2θ=.④将③④代入sin2θ+cos2θ=1中，可得=1,∴x、y满足x2+y2=9.10分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.已知sinθ=，θ为第二象限角，则tanθ等于（）A.B.C.D.解析：由sinθ=且θ为第二象限角，知cosθ=，∴tanθ=.答案：C2.若tanα=-1，则sinα+cosα的值是（）A.B.C.0D.±解析：由tanα=-1，知α=kπ+（k∈Z）.不妨取α=，则sinα=sin=，cosα=cos=.∴sinα+cosα==0.故选C.答案：C3.若tan100°=k，则sin80°的值等于（）A.B.C.D.解析：∵100°=180°-80°，∴tan100°=tan（180°-80°）=-tan80°=k.∴tan80°=-k（k＜0）.又tan280°=,∴=k2，即sin280°=.∵k<0，∴sin80°=.答案：C4.已知sin（π+α）=（α是第四象限的角），则cos（α-2π）=_____________.解析：∵sin（π+α）=-sinα，∴sinα=.而cos（α-2π）=cos（2π-α）=cosα，据α属于第四象限，且cos2α=1-sin2α，知cosα=.答案：5.已知sinα-cosα=，求sin3α-cos3α的值.解：将sinα-cosα=两边同时平方，得1-2sinαcosα=，即sinαcosα=.∴sin3α-cos3α=（sinα-cosα）（sin2α+cos2α+sinαcosα）=.6.已知tanα=-2，求下列各式的值：（1）；（2）sin2α+cos2α.解：∵tanα=-2，则cosα≠0.（1）=10；（2）.30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1.若cosα=tanα，则sinα的值是（）A.B.C.D.以上皆错解析：由cosα=tanα，得cos2α=sinα.∴1-sin2α=sinα，即sin2α+sinα-1=0.解之,得sinα=.又cosα=tanα，∴α属于第一或第二象限.∴sinα=.答案：A2.使成立的α的取值范围是（）A.2kπ-π＜α＜2kπ（k∈Z）B.2kπ-π≤α≤2kπ（k∈Z）C.2kπ+π＜α＜2kπ+3（k∈Z）D.只能是第三或第四象限解析：∵,若，则sinα＜0，∴角α的终边落在x轴的下方区域，即2kπ-π＜α＜2kπ（k∈Z）.答案：A3.已知=2，则sinθ·cosθ的值为（）A.B.±C.D.解析：已知等式两边平方得=4，从而sinθ·cosθ=.答案：C4.已知sinαcosα=且＜α＜，那么cosα-sinα的值是（）A.B.C.D.±解析：∵，∴sinα＞cosα.∴cosα-sinα＜0.又（cosα-sinα）2=1-2sinαcosα=1-2×，∴cosα-sinα=.答案：B5.已知tan（π+α）=（＜α＜2π），则cos（+α）=_______________.解析：∵tan（π+α）=tanα=，而cos（+α）=-sinα，由tanα=，得tan2α=.∴，即sin2α=.注意到＜α＜2π，∴sinα＜0，即sinα=，从而cos（+α）=.答案：6.设tan（5π+α）=m（m≠0），则=_________________.解析：tan（5π+α）=tanα=m，而所求函数式=.答案：7.设sinθ、cosθ是方程4x2-4mx+2m-1=0的两根且＜θ＜2π，则实数m的值为_____________.解析：由题意可知sinθ+cosθ=m，sinθ·cosθ=，∴（sinθ+cosθ）2=m2.∴1+2sinθ·cosθ=m2.从而1+=m2，∴2m2-2m-1=0.解之,得m=.又θ∈（，2π），∴sinθ·cosθ＜0.∴2m-1＜0，即m＜.∴m=.答案：8.当α∈（0，）时，化简.解：原式==|sinα-cosα|+|sinα+cosα|，∵α∈（0，），0＜sinα＜cosα，∴原式=-（sinα-cosα）+sinα+cosα=2cosα.9.已知sin（π-α）-cos（π+α）=（＜α＜π），求sinα-cosα的值.解：由已知，得sinα+cosα=，平方得1+2sinαcosα=，∴2sinαcosα=.又＜α＜π，∴sinα-cosα=.10.已知θ∈［0，2π），而sinθ、cosθ是方程x2-kx+k+1=0的两实数根，求k和θ的值.解：∵sinθ、cosθ是方程x2-kx+k+1=0的两实数根，∴代入（sinθ+cosθ）2=1+2sinθcosθ中整理可得k2=1+2（k+1），即k2-2k-3=0.∴k=-1或k=3（舍）.代回原方程组得∴即θ=π或θ=.