课时分层作业(二十七)(建议用时：60分钟)一、选择题1．(2018·全国卷Ⅲ)若sinα＝，则cos2α＝()A.B.C．－D．－B[cos2α＝1－2sin2α＝1－2×＝.]2.－＝()A．4B．2C．－2D．－4D[－＝－＝＝＝＝－4.故选D.]3．已知tanα＝4，则的值为()A．18B.C．16D.D[＝＝＝，选D.]4．已知函数f(x)＝2cos2x－sin2x＋2，则()A．f(x)的最小正周期为π，最大值为3B．f(x)的最小正周期为π，最大值为4C．f(x)的最小正周期为2π，最大值为3D．f(x)的最小正周期为2π，最大值为4B[根据题意有f(x)＝cos2x＋1＋cos2x＋＝cos2x＋，所以函数f(x)的最小正周期为T＝＝π，且最大值为f(x)max＝＋＝4，故选B.]5．已知等腰三角形底角的正弦值为，则顶角的正弦值是()A.B.C．－D．－A[设底角为θ，则θ∈，顶角为180°－2θ.∵sinθ＝，∴cosθ＝＝，∴sin(180°－2θ)＝sin2θ＝2sinθcosθ＝2××＝.]二、填空题6．已知sin2α＝，则cos2＝.[cos2＝＝＝＝.]7．已知α是第二象限角，且sin(π＋α)＝－，则tan2α的值为．－[sinα＝，cosα＝－，tan2α＝－.]8．已知sin＋cos＝，那么sinθ＝，cos2θ＝.[∵sin＋cos＝，∴2＝，即1＋2sincos＝，∴sinθ＝，∴cos2θ＝1－2sin2θ＝1－2×2＝.]三、解答题9．求证：＝tan.[证明]＝＝＝tan.10．已知α为第二象限角，且sinα＝，求的值．[解]原式＝＝.∵α为第二象限角，且sinα＝，∴sinα＋cosα≠0，cosα＝－，∴原式＝＝－.1．(多选题)下列选项中，值为的是()A．cos72°cos36°B．sinsinC.＋D.－cos215°AB[对于A，cos36°cos72°＝＝＝＝，故A正确；对于B，sinsin＝sincos＝·2sincos＝sin＝，故B正确；对于C，原式＝＝＝＝＝4，故C错误；对于D，－cos215°＝－(2cos215°－1)＝－cos30°＝－，故D错误．故选AB.]2．已知α，β均为锐角，且3sinα＝2sinβ，3cosα＋2cosβ＝3，则α＋2β的值为()A.B.C.D．πD[由题意得①2＋②2得cosβ＝，cosα＝，由α，β均为锐角知，sinβ＝，sinα＝，∴tanβ＝2，tanα＝，∴tan2β＝－，∴tan(α＋2β)＝0.又α＋2β∈，∴α＋2β＝π.故选D.]3．化简：tan70°cos10°(tan20°－1)＝.－1[原式＝·cos10°·＝·cos10°·＝·cos10°·＝－·＝－1.]4．已知sin22α＋sin2αcosα－cos2α＝1，则锐角α＝.[由原式，得sin22α＋sin2αcosα－2cos2α＝0，∴(2sinαcosα)2＋2sinαcos2α－2cos2α＝0，∴2cos2α(2sin2α＋sinα－1)＝0，∴2cos2α(2sinα－1)(sinα＋1)＝0.∵α为锐角，∴cos2α≠0，sinα＋1≠0，∴2sinα－1＝0，∴sinα＝，∴α＝.]5．已知向量p＝(cosα－5，－sinα)，q＝(sinα－5，cosα)，p∥q，且α∈(0，π)．(1)求tan2α的值；(2)求2sin2－sin.[解](1)由p∥q，可得(cosα－5)cosα－(sinα－5)(－sinα)＝0，整理得sinα＋cosα＝.因为α∈(0，π)，所以α∈，所以sinα－cosα＝＝，解得sinα＝，cosα＝－，故tanα＝－，所以tan2α＝＝.(2)2sin2－sin＝1－cos－sin＝1－cosα＋sinα－sinα－cosα＝1－cosα＝.
