第三章三角恒等变形测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.coscos+sinsin=()A.1B.0C.-1D.解析:coscos+sinsin=cos=0.答案:B2.若sinα=,cosα=,则k的值为()A.-7或1B.-7C.1D.-7或-1解析:由题意知=1,∴(k+1)2+(k-1)2=(k-3)2,∴k2+6k-7=0,∴k=-7或k=1,经检验,符合题意,故选A.答案:A3.若sinα-4cosα=0,则tan的值为()A.B.-C.D.-解析:由已知得tanα==4,于是tan.答案:A4.若(4tanα+1)(1-4tanβ)=17,则tan(α-β)的值为()A.B.C.4D.12解析:由已知得4(tanα-tanβ)=16(1+tanαtanβ),即=4,∴tan(α-β)=4.故选C.答案:C5.已知cos,则的值为()A.B.-C.D.-解析:因为cos,所以sin2α=-cos=1-2cos2,sin=cos,所以.答案:A6.对任意的锐角α,β,下列不等关系中正确的是()A.sin(α+β)>sinα+sinβB.sin(α+β)>cosα+cosβC.cos(α+β)0,且|sinα|<|cosα|,于是sinα+cosα=.答案:B10.设α∈,β∈,且tanα=,则()A.3α-β=B.3α+β=C.2α-β=D.2α+β=解析:由已知,得,∴sinαcosβ=cosα+cosαsinβ.∴sinαcosβ-cosαsinβ=cosα.∴sin(α-β)=cosα,∴sin(α-β)=sin. α∈,β∈,∴-<α-β<,0<-α<,∴α-β=-α,∴2α-β=.故选C.答案:C11.(2016山东烟台高二期中)化简sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°的结果是()A.89B.C.45D.解析:sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°=sin21°+sin22°+…+sin245°+cos244+…+cos21°=(sin21°+cos21°)+(sin22°+cos22°)+…+(sin244°+cos244°)+sin245°=44+.故选B.答案:B12.导学号03070148若函数f(x)=(sinx+cosx)2+2cos2x-m在上有零点,则m的取值范围为()A.[-1,2]B.[1,3]C.[-1,2+]D.[1,2+]解析:f(x)=(sinx+cosx)2+2cos2x-m=1+sin2x+1+cos2x-m=sin+2-m,当x∈时,2x+,所以sin,所以f(x)∈[1-m,+2-m],要使f(x)在上有零点,需要满足所以1≤m≤+2.答案:D二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.如果cosα=,且α是第四象限的角,那么cos=.解析:由题意得sinα=-=-=-,故cos=-sinα=.答案:14.已知tan=2,则的值为.解析:由tan=2,得tanx=,所以tan2x=,故.答案:15.的值为.解析:原式===4×=4.答案:416.已知sin<α<π,则sin=.解析:由<α<π可知<α+,因为sin,所以cos=-.所以sin=sincossin=-=-.答案:-三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(10分)(2016浙江嘉兴高二检测)已知sinα=,α∈,tanβ=.(1)求tanα的值;(2)求tan(α+2β)的值.解:(1) sinα=,α∈,∴cosα=.∴tanα=.(2)(方法1) tanβ=,∴tan2β=.∴tan(α+2β)==2.(方法2) tanβ=,∴tan(α+β)==1.∴tan(α+2β)==2.18.(12分)在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,点P在角α的终边上,点Q(sin2θ,-1)在角β的终边上,且=-.求:(1)cos2θ的值;(2)sin(α+β)的值.解:(1) =-,∴sin2θ-cos2θ=-,∴=-,解得cos2θ=.(2)由(1)得cos2θ=,sin2θ=,∴P,Q.∴sinα=,cosα=,sinβ=-,cosβ=,∴sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ==-.19.(12分)从圆心角为120°,半径为20cm的扇形铁片上截出一块矩形OPMN,如图,让矩形的一边在扇形的一条半径OA上,点M在弧AB上,求此矩形面积的最大值.解:设截出的矩形的面积为Scm2,连接OM,设∠POM=α(0°<α<90°),易知S=OP·MP=OMcosα·OMsinα=OM2sin2α=200sin2α.当sin2α=1,即α=45°时,矩形的面积S取得最大值200cm2.答:矩形面积的最大值为200cm2.20.(12分)(2015安徽高考)已知函数f(x)=(sinx+cosx)2+cos2x.(1)求f(x)的最小正周...
