7.3.5已知三角函数值求角课后篇巩固提升基础巩固1.函数y=arctan❑√x−π4的一个值域是()A.(-π2,π2)B.[-π4,π4)C.[-π4,π4]D.[-3π4,π4)解析因为❑√x≥0,所以arctan❑√x∈[0,π2),则arctan❑√x−π4∈[-π4,π4),故选B.答案B2.若P(sinθ,cosθ)是角α终边上的一点,则α的值等于()A.π2-θB.θC.2kπ+π2-θ(k∈Z)D.kπ+π2-θ(k∈Z)解析由题意可知tanα=tan(π2-θ),则α=kπ+π2-θ,k∈Z.答案D3.已知α是三角形的内角,且sinα=❑√32,则α等于()A.π6B.π3C.π6或5π6D.π3或2π3解析因为α∈(0,π),且sinα=❑√32,故α=π3或α=2π3.答案D4.(多选)已知cosx=-❑√22,00时,x的值有两个,分别在第一、二象限,当sinx<0时,x的值也有两个,分别在第三、四象限.故选D.答案D2.若tan(2x+π3)=❑√33,则在区间[0,2π]上使其成立的x值的个数为()A.5B.4C.3D.2解析∵tan(2x+π3)=❑√33,∴可知2x+π3=kπ+π6(k∈Z),即x=kπ2−π12(k∈Z),∵x∈[0,2π],∴当k=1时,x=5π12,当k=2时,x=11π12,当k=3时,x=17π12,当k=4时,x=23π12,共4个值符合要求.答案B3.已知等腰三角形的顶角为arccos(-12),则底角的正切值是()A.❑√33B.-12C.❑√3D.12解析由题意得三角形顶角为arccos(-12)=2π3,底角为(π-2π3)2=π6.故tanπ6=❑√33.答案A4.若P(-1,2)是钝角α的终边上一点,则角α可以表示为()A.arcsin2❑√55B.arccos-❑√55C.arctan(-2)D.以上都不对解析由题意可得sinα=2❑√55,cosα=-❑√55,tanα=-2,又α∈π2,π,可知α=π-arcsin2❑√55=arccos-❑√55=π+arctan(-2).故选B.答案B5.若A为△ABC的一个内角,且sinA+cosA=15,则A为()A.arcsin45B.arcsin(-15)C.π-arcsin45D.π2+arccos45解析因为sin2A+cos2A=1,sinA+cosA=15,所以sinA=45,cosA=-35,故A=π-arcsin45.答案C6.(双空)若x=π3是方程2cos(x+α)=1的解,其中α∈(0,2π),则α=.x=-7π6时2cos(x+α)=.答案4π3❑√37.(双空)方程cosx=sinπ6的解集为.不等式cosx>sinπ6的解集为.解析因为cosx=sinπ6,又由诱导公式可得sinπ6=cosπ3=cos-π3,所以x=2kπ±π3,k∈Z,方程cosx=sinπ6的解集为xx=2kπ±π3,k∈Z.所以不等式cosx>sinπ6的解集为x2kπ-π30,所以cosθ=12,所以θ=5π3.9.已知△ABC的三个内角A,B,C满足sin(180°-A)=❑√2cos(B-90°),❑√3cosA=-❑√2cos(180°+B),求角A,B,C的大小.解∵sin(180°-A)=❑√2cos(B-90°),∴sinA=❑√2sinB.①又❑√3cosA=-❑√2cos(180°+B).∴❑√3cosA=❑√2cosB.②①2+②2,得cos2A=12,即cosA=±❑√22.∵A∈(0,π),∴A=π4或A=3π4.(1)当A=π4时,有cosB=❑√32,又B∈(0,π),∴B=π6,C=7π12.(2)当A=3π4时,由②得cosB=❑√3cos3π4❑√2=-❑√32<0.可知B为钝角,在一个三角形中不可能出现两个钝角,此种情况无解.综上,可知角A,B,C的大小分别为π4,π6,7π12.
