7.3三角函数的性质与图像7.3.1正弦函数的性质与图像课后篇巩固提升基础巩固1.函数y=1sinx的定义域为()A.RB.{x|x≠kπ,k∈Z}C.[-1,0)∪(0,1]D.{x|x≠0}答案B2.函数f(x)=x3+sinx+1(x∈R),若f(-a)=2,则f(a)的值为()A.3B.0C.-1D.-2答案B3.已知a是实数,则函数f(x)=1+asinax的图像不可能是()解析当a=0时,f(x)=1,选项C符合;当0<|a|<1时,T>2π,f(x)的最大值小于2,选项A符合;当|a|>1时,T<2π,选项B符合.排除选项A,B,C,故选D.答案D4.函数y=sinx+π4的一个单调增区间是()A.[-π,0]B.0,π4C.π4,π2D.π2,π解析对于A选项,当x∈[-π,0]时,-3π4≤x+π4≤π4,所以函数y=sinx+π4在区间[-π,0]上不单调;对于B选项,当x∈0,π4时,π4≤x+π4≤π2,所以函数y=sinx+π4在区间0,π4上单调递增;对于C选项,当x∈π4,π2时,π2≤x+π4≤3π4,所以函数y=sinx+π4在区间π4,π2上单调递减;对于D选项,当x∈π2,π时,3π4≤x+π4≤5π4,所以函数y=sinx+π4在区间π2,π上单调递减.故选B.答案B5.(多选)下列函数图像相同的是()A.y=sinx与y=sin(π-x)B.y=sin(x-π2)与y=sin(π2-x)C.y=sinx与y=sin(-x)D.y=sin(2π+x)与y=sinx解析根据诱导公式,y=sin(π-x)=sinx,故选A;y=sin(2π+x)=sinx,故选D.答案AD6.比较大小:(1)sin74cos53;(2)cos(-π18)cos(-π10).解析(1)因为cos53=sin(π2+53),又π2<74<π2+53<3π2,但y=sinx在[π2,3π2]上是减函数,所以sin74>sin(π2+53)=cos53,即sin74>cos53.(2)因为-π2<-π10<-π18<0,且y=cosx在[-π2,0]上是增函数,所以cos(-π18)>cos(-π10).答案(1)>(2)>7.设f(x)是定义域为R,最小正周期为3π2的周期函数,若f(x)={cosx,-π2≤x≤0,sinx,00时,f(x)=x2-sinx,则当x<0时,f(x)=.解析当x<0时,-x>0,所以f(-x)=(-x)2-sin(-x)=x2+sinx.又f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x).所以f(x)=-x2-sinx.答案-x2-sinx7.已知方程cos2x+4sinx-a=0有解,则a的取值范围是.答案[-4,4]8.求函数f(x)=❑√sinx-12+lg(25-x2)的定义域.解由题意可知{sinx-12≥0,25-x2>0,作出函数y=sinx的图像如图.满足sinx-12≥0的x的集合为[2kπ+π6,2kπ+5π6](k∈Z).又25-x2>0,即-50时,由题意,得{a+b=32,a-b=-12,解得{a=12,b=1.所以f(x)=-2sinx,此时f(x)的最大值为2,最小值为-2.②当b<0时,由题意,得{a-b=32,a+b=-12,解得{a=12,b=-1.所以f(x)=2sinx,此时f(x)的最大值为2,最小值为-2.10.设函数f(x)=1sinx.(1)请指出函数y=f(x)的定义域、周期性和奇偶性;(不必证明)(2)请以正弦函数y=sinx的性质为依据,并运用函数的单调性定义证明:y=f(x)在区间0,π2上单调递减.(1)解∵函数f(x)=1sinx,∴sinx≠0,x≠kπ,k∈Z,故函数的定义域为{x|x≠kπ,k∈Z}.显然,f(x)的周期,即y=sinx的周期为2π.由于满足f(-x)=1sin(-x)=-1sinx=-f(x),故f(x)为奇函数.(2)证明正弦函数y=sinx在区间0,π2上单调递增,设01sinx2=f(x2),即f(x1)>f(x2),因此y=f(x)在区间0,π2上单调递减.
