第一课考点突破·素养提升素养一数学抽象角度集合的基本概念【典例1】已知集合={a2,a+3b,0},则2|a|+b=________.【解析】因为集合={a2,a+3b,0},所以b=0,a2=4,解得a=±2,当a=-2,b=0时,{-2,0,4}={4,-2,0},成立,此时2|a|+b=4.当a=2,b=0时,{2,0,4}={4,2,0},成立,此时2|a|+b=4.答案:4【典例2】已知A={a+2,(a+1)2,a2+3a+3},若1∈A,求实数a的值.【解析】由题设条件可知:1∈A,若a+2=1,即a=-1时,(a+1)2=0,a2+3a+3=1=a+2,不满足集合中元素的互异性,舍去;若(a+1)2=1,即a=0或a=-2,当a=0时,a+2=2,(a+1)2=1,a2+3a+3=3,满足条件;当a=-2时,a+2=0,(a+1)2=1,a2+3a+3=1,不满足集合中元素的互异性,舍去;若a2+3a+3=1,即a=-1或a=-2,均不满足条件,理由同上.综上可知,实数a的值只能是a=0.【素养·探】将本例条件改为“集合A={2,4,x2-5x+9},B={3,x2+ax+a},2∈B,B⊆A”,求实数a,x的值.【解析】因为a,x∈R,集合A={2,4,x2-5x+9},B={3,x2+ax+a},2∈B,B⊆A,所以解得x=2,a=-或x=3,a=-,经检验x=2,a=-或x=3,a=-都符合题意,故所求a,x的值分别为-,2或-,3.【类题·通】1.集合元素的互异性在解题中的两个应用(1)切入:利用集合元素的互异性寻找解题的切入点.(2)检验:解题完毕,利用互异性验证答案的正确性.2.描述法表示集合的关键及注意点(1)关键:清楚集合的类型及元素的特征性质.(2)注意点:当特征性质的表示形式相同时,要清楚代表元素的不同会导致集合含义的不同,所以研究描述法时要关注集合中代表元素的属性.【加练·固】设集合A={x|x2-3x+a=0},若4∈A,则集合A用列举法表示为________.【解析】因为4∈A,所以16-12+a=0,所以a=-4,所以A={x|x2-3x-4=0}={-1,4}.答案:{-1,4}素养二数学运算角度集合的基本运算【典例3】(2018·北京高考)已知集合A={x||x|<2},B={-2,0,1,2},则A∩B=()A.{0,1}B.{-1,0,1}C.{-2,0,1,2}D.{-1,0,1,2}【解析】选A.集合A={x|-24},B={x|-7≤x≤-2}.所以(∁RA)∩B={x|-7≤x<-3}.(2)因为A∩B=B,所以B⊆A,当2m-1>m+1,即m>2时,B=∅,满足B⊆A,当2m-1≤m+1,即m≤2时,B≠∅,若B⊆A,则解得-1≤m≤3,又m≤2,所以-1≤m≤2,综上所述,m的取值范围是m≥-1.素养三逻辑推理角度1判断集合间的关系【典例5】集合M={x|x=3k-2,k∈Z},P={y|y=3n+1,n∈Z},S={z|z=6m+1,m∈Z}之间的关系是()A.SPMB.S=PMC.SP=MD.P=MS【解析】选C.运用整数的性质求解.集合M,P表示的是被3整除余1的整数集,集合S表示的是被6整除余1的整数集.【类题·通】1.集合间关系的判断方法(1)定义法:根据定义直接判断元素与集合间的关系,得出集合间的关系.(2)图示法:利用数轴或Venn图表示出相应的集合,根据图示直观地判断.2.求解集合间关系问题的两个注意事...
