1.5.1全称量词与存在量词分层演练综合提升A级基础巩固1.若a,b∈R,且a2+b2≠0,则①a,b全为0;②a,b不全为0;③a,b全不为0;④a,b至少有一个不为0.其中真命题的个数为()A.0B.1C.2D.3答案:C2.下列语句不是全称量词命题的是()A.任何一个实数乘零都等于零B.自然数都是正整数C.高二(1)班绝大多数同学是团员D.每一个三角形的内角和都等于180°答案:C3.下列存在量词命题中:①有的实数是无限不循环小数,②有些三角形不是等腰三角形,③有的菱形是正方形,假命题的个数是()A.0B.1C.2D.3答案:A4.若命题“∀x∈R,2x2+(2a-1)x+12a2>0”是真命题,则实数a的取值范围是a>14.5.用量词符号“∀”“∃”表达下列命题:(1)所有的有理数x都使得13x2+12x+1是有理数;(2)一定有实数α,β,使得α+β=αβ;(3)一定有整数x,y,使得3x-2y=10;(4)所有的实数a,b,方程ax+b=0恰有一个解.解:(1)∀x∈Q,13x2+12x+1是有理数.(2)∃α,β∈R,α+β=αβ.(3)∃x,y∈Z,3x-2y=10.(4)∀a,b∈R,方程ax+b=0恰有一个解.B级能力提升6.下列全称量词命题中真命题的个数为()①负数没有平方根;②对任意的实数a,b,都有a2+b2≥2ab;③二次函数f(x)=x2+ax-2的图象与x轴恒有交点;④∀x,y∈R,x2+|y|>0.A.1B.2C.3D.4解析:①②③为真命题;当x=y=0时,x2+|y|=0,故④为假命题.答案:C7.下列四个命题:①没有一个无理数不是实数;②空集是任何一个非空集合的真子集;③1+1<2;④至少存在一个整数x,使得x2-x+1是整数.其中是真命题的为()A.①②③④B.①②③C.①②④D.②③④解析:①所有无理数都是实数,为真命题;②显然为真命题;③显然不成立,为假命题;④取x=1,能使x2-x+1=1是整数,为真命题.答案:C8.判断下列语句是全称量词命题,还是存在量词命题:(1)凸多边形的外角和等于360°;(2)有的字母不能表示一个未知数;(3)有一个函数是一次函数,且其图象过原点;(4)若一个四边形是菱形,则这个四边形的对角线互相垂直.解:(1)可以改写为“所有的凸多边形的外角和都等于360°”,故为全称量词命题.(2)含有存在量词“有的”,故是存在量词命题.(3)含有存在量词“有一个”,故为存在量词命题.(4)若一个四边形是菱形,也就是所有的菱形,故为全称量词命题.C级挑战创新9.多选题有下列四个命题,其中为真命题的是()A.∀x∈R,2x2-3x+4>0B.∀x∈{1,-1,0},2x+1>0C.∃x∈N,x2≤xD.∃x∈N*,使x为29的因数解析:对于A项,这是全称量词命题,因为(-3)2-4×2×4<0,所以2x2-3x+4>0恒成立,故A项为真命题;对于B项,这是全称量词命题,当x=-1时,2x+1>0不成立,故B项为假命题;对于C项,这是存在量词命题,当x=0或x=1时,有x2≤x成立,故C项为真命题;对于D项,这是存在量词命题,当x=1时,x为29的因数成立,所以D项为真命题.答案:ACD10.多空题下列命题中,是全称量词命题的为①②③,是存在量词命题的为④.(填序号)①正方形的四条边都相等;②有两个角相等的三角形是等腰三角形;③正数的平方根不等于0;④至少有一个正整数是偶数.解析:①可表述为“每一个正方形的四条边都相等”,是全称量词命题;②是全称量词命题,即“凡是有两个角相等的三角形都是等腰三角形”;③可表述为“所有正数的平方根不等于0”,是全称量词命题;④是存在量词命题.
