1.4.2充要条件必备知识基础练知识点一充要条件的判断1.指出下列各题中，p是q的什么条件？(1)已知实数a，b，p：a>0且b>0，q：a＋b>0且ab>0；(2)p：q：2．已知p是q的充分条件，q是r的必要条件，也是s的充分条件，r是s的必要条件，问：(1)p是r的什么条件？(2)s是q的什么条件？(3)p，q，r，s中哪几对互为充要条件？知识点二充要条件的证明3.求证：一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点(0,0)的充要条件是b＝0.4．求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，有一正根和一负根的充要条件是ac<0.知识点三充要条件的应用5.“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件6．a，b中至少有一个不为零的充要条件是()A．ab＝0B．ab＞0C．a2＋b2＝0D．a2＋b2＞07．已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A⊆B”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件关键能力综合练一、选择题1．设x∈R，则“x＝1”是“x3＝x”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件2．设x∈R，则“x>”是“2x2＋x－1>0”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．函数y＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是()A．m＝－2B．m＝2C．m＝－1D．m＝14．集合“M∩N＝N”是“M∪N＝M”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．已知p：x≤－1或x≥3，q：x>5，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．若非空集合A，B，C满足A∪B＝C，且B不是A的子集，则()A．“x∈C”是“x∈A”的充分不必要条件B．“x∈C”是“x∈A”的必要不充分条件C．“x∈C”是“x∈A”的充要条件D．“x∈C”是“x∈A”的既不充分又不必要条件二、填空题7．“x2－1＝0”是“|x|－1＝0”的________条件．(从“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中选一个合适的填空)8．(易错题)如果不等式x≤m成立的充分不必要条件是1≤x≤2，则m的最小值为________．9．设m∈N*，一元二次方程x2－4x＋m＝0有整数根的充要条件是m＝________.三、解答题10．(探究题)设命题p：≤x≤1；命题q：a≤x≤a＋1，若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．学科素养升级练1．(多选题)下列命题中是真命题的是()A．“x>2且y>3”是“x＋y>5”的充要条件B．“x>1”是“|x|>0”的充分不必要条件C．“b2－4ac<0”是“ax2＋bx＋c<0(a≠0)的解集为R”的充要条件D．三角形的三边满足勾股定理的充要条件是此三角形为直角三角形2．设条件p：|x|≤m(m＞0)，q：－1≤x≤4，若p是q的充分条件，则m的最大值为________，若p是q的必要条件，则m的最小值为________．3．(情境命题—学术情境)设a，b，c为△ABC的三边，求证：方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是A＝90°.1．4.2充要条件必备知识基础练1．解析：(1)由a>0且b>0⇒a＋b>0且ab>0，并且由a＋b>0且ab>0⇒a>0且b>0，所以p是q的充要条件．(2)由根据不等式的性质可得即p⇒q，而由不能推出如：α＝1，β＝5满足但不满足α>2.所以p是q的充分不必要条件．2.解析：作出“⇒”图，如右图所示，可知：p⇒q，r⇒q，q⇒s，s⇒r.(1)p⇒q⇒s⇒r，且r⇒q，q能否推出p未知，∴p是r的充分条件．(2) s⇒r⇒q，q⇒s，∴s是q的充要条件．(3)共有三对充要条件，q⇔s；s⇔r；r⇔q.3．证明：①充分性：如果b＝0，那么y＝kx.当x＝0时，y＝0.所以一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点(0,0)．②必要性：因为一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点(0,0)，所以0＝0＋b，所以b＝0.综上，一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点(0,0)的充要条件是b＝0.4．证明：必要性：由于方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一正根和一负根，所以Δ＝b2－4ac>0，x1·x2＝<0，所以ac<0.充分性：由ac<0可得b2－4ac>0及x1·x2＝<0，所以方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实根，且两根异号，即方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一正根和一负根．综上可知，关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，有一正根...
