课时作业9充分条件、必要条件时间：45分钟分值：100分1．设M＝{1,2}，N＝{a2}，则“a＝1”是“N⊆M”的(A)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：当a＝1时，N＝{1}，N⊆M；当N⊆M时，a2＝1或2，即a＝±1，±，故“a＝1”是“N⊆M”的充分不必要条件．2．若a∈R，则“a＝2”是“(a－1)(a－2)＝0”的(A)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：若a＝2，则(a－1)(a－2)＝0，即a＝2⇒(a－1)(a－2)＝0.若(a－1)(a－2)＝0，则a＝2或a＝1，故(a－1)(a－2)＝0不一定能推出a＝2.3．一次函数y＝－x＋的图像经过第一、三、四象限的必要不充分条件是(B)A．m>1，且n<1B．mn<0C．m>0，且n<0D．m<0，且n<0解析：因为y＝－x＋的图像经过第一、三、四象限，故－>0，<0，即m>0，n<0，但此为充要条件，因此，其必要不充分条件为mn<0，故选B.4．“x＋y＝3”是“x＝1且y＝2”的(B)条件A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要解析：由x＝1且y＝2一定推出x＋y＝3，但x＋y＝3不一定有x＝1且y＝2.故选B.5．在△ABC中，AB>AC是∠C>∠B的(C)条件A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要解析：在△ABC中，边大则角大，角大边也大，因此AB>AC是∠C>∠B的充要条件．故选C.6．使x>3成立的一个充分条件是(A)A．x>4B．x>0C．x>2D．x<2解析：∵x>4⇒x>3，∴x>4是x>3的一个充分条件．7．在下列四个结论中，正确的有①④.①x>2是|x|>2的充分不必要条件；②在△ABC中，AB2＋AC2＝BC2是△ABC为直角三角形的充要条件；③若a，b∈R，则a2＋b2≠0是a、b全不为零的充要条件；④若a，b∈R，则a2＋b2≠0是a、b不全为零的充要条件．解析：逐一排除，②中∠A不一定为直角，故为充分条件，③为必要条件．8．设n∈N＋，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝3或4.解析：一元二次方程x2－4x＋n＝0，有整数根首先满足Δ＝16－4n≥0，又n∈N＋，所以n＝1,2,3,4代入x2－4x＋n＝0，检验知n＝3或n＝4时，方程的解为整数．9．设p，r都是q的充分条件，s是q的充分必要条件，t是s的必要条件，t是r的充分条件，那么p是t的充分条件，r是t的充要条件．解析：由题意可画出图形，如图．由图可看出p是t的充分条件，r是t的充要条件．三、解答题共计40分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤10．(10分)判断p是q的什么条件．(1)p：“a＋b<0且ab>0”，q：“a<0且b<0”；(2)p：“x>1”，q：“<1”；(3)p：“(x－4)(x－1)＝0，q：＝0”；(4)p：“x＝2”，q：“x2－7x＋10＝0”．解：(1)∵a＋b<0且ab>0，∴a、b同号且都是负数．即a＋b<0且ab>0⇒a<0且b<0.∵a<0且b<0，∴a＋b<0，ab>0.即a<0且b<0⇒a＋b<0且ab>0.∴a＋b<0且ab>0是a<0且b<0的充要条件．(2)当x>1时，<1成立，即x>1⇒<1，当<1时，x未必大于1(如x＝－3)，即<1⇒x>1，∴x>1是<1的充分不必要条件．(3)∵(x－4)(x＋1)＝0，∴x＝4或x＝－1.∵＝0，∴x＝4.∴(x－4)(x＋1)＝0⇒＝0.而＝0⇒(x－4)(x＋1)＝0，∴(x－4)(x＋1)＝0是＝0的必要不充分条件．(4)∵当x＝2时，x2－7x＋10＝4－14＋10＝0，∴x＝2⇒x2－7x＋10＝0.当x2－7x＋10＝0时，则x1＝2，x2＝5.∴x2－7x＋10＝0⇒x＝2.∴x＝2是x2－7x＋10＝0的充分不必要条件．11．(15分)已知命题p：(x－1)(y－2)＝0，q：(x－1)2＋(y－2)2＝0，试判断p是q的什么条件？解：由题意知，命题p：x＝1或y＝2，命题q：x＝1且y＝2.由于p⇒q，但是q⇒p，故命题p是命题q的必要不充分条件．12．(15分)求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.证明：必要性：由关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一根为1，则将x＝1代入方程满足a×12＋b×1＋c＝0，即a＋b＋c＝0.充分性：∵a＋b＋c＝0，∴c＝－a－b，代入ax2＋bx＋c＝0中有ax2＋bx－a－b＝0，即(x－1)·(ax＋a＋b)＝0，故方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1.综上所证知，关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.
