第一章集合与常用逻辑用语1.2常用逻辑用语1.2.1命题与量词课后篇巩固提升基础达标练1.(多选题)下列命题中为假命题的是()A.∃x∈R,x2+1<0B.∃x∈Z,3x+1是整数C.∀x∈R,|x|>3D.∀x∈Q,x2∈Z答案ACD2.下列四个命题既是存在量词命题又是真命题的是()A.锐角三角形的内角是锐角或钝角B.至少有一个实数x,使x2≤0C.两个无理数的和必是无理数D.存在一个负数x,使1x>2解析A中锐角三角形的内角是锐角或钝角是假命题;B中x=0时,x2=0,所以B是存在量词命题又是真命题;C中因为❑√3+(-❑√3)=0,所以C是假命题;D中对于任何一个负数x,都有1x<0,所以D是假命题.答案B3.用符号“∀”或“∃”表示含有量词的命题.(1)实数的平方大于等于0,符号表示为;(2)存在一对实数x,y,使2x+3y+3>0成立,符号表示为.答案(1)∀x∈R,有x2≥0(2)∃x,y∈R,使2x+3y+3>0成立4.(2020连云港高一检测)若“∃x∈R,x2+2x-a<0”是真命题,则实数a的取值范围是.解析若“∃x∈R,x2+2x-a<0”是真命题,则Δ>0,即4+4a>0,解得a>-1.则实数a的取值范围为(-1,+∞).答案(-1,+∞)5.判断下列命题是否为全称量词命题或存在量词命题,并判断其真假.(1)存在一个三角形,其内角和不等于180°.(2)对所有的实数a,b,方程ax+b=0都有唯一解.(3)存在实数x,使得1x2-x+1=2.解(1)是存在量词命题,是假命题.(2)是全称量词命题,是假命题.(3)是存在量词命题,是假命题.能力提升练1.下列存在量词命题是假命题的是()A.存在x∈Q,使2x-x3=0B.存在x∈R,使x2+x+1=0C.有的整数是偶数D.有的有理数没有倒数解析对于任意的x∈R,x2+x+1=x+122+34>0恒成立,所以存在x∈R,使x2+x+1=0是假命题.答案B2.(多选题)下列命题中是真命题的是()A.∀x∈R,2x2-3x+4>0B.∀x∈{1,-1,0},2x+1>0C.∃x∈N,使❑√x≤xD.∃x∈N*,使x为29的约数解析对于A,这是全称量词命题,由于Δ=(-3)2-4×2×4<0,所以2x2-3x+4>0恒成立,故A为真命题;对于B,这是全称量词命题,由于当x=-1时,2x+1>0不成立,故B为假命题;对于C,这是存在量词命题,当x=0时,有❑√x≤x成立,故C为真命题;对于D,这是存在量词命题,当x=1时,x为29的约数成立,所以D为真命题.答案ACD3.(2020济南高一月考)下列命题中,既是真命题又是全称量词命题的是()A.至少有一个x∈Z,使得x2<3成立B.对任意a,b∈R,都有a2+b2≥2(a+b-1)C.∃x∈R,❑√x2=xD.菱形的两条对角线长度相等解析对于A,因为02<3,0∈Z,所以至少有一个x∈Z,使得x2<3成立,是真命题,不是全称量词命题;对于B,因为a2+b2-2(a+b-1)=(a-1)2+(b-1)2≥0,所以B真,又因为任意a,b∈R都使命题成立,故本命题符合题意;对于C,当x≥0,❑√x2=x成立,是真命题,不是全称量词命题;对于D,并不是所有的菱形对角线长度都相等,是假命题.答案B4.已知p(x):x2+2x-m>0,若p(1)是假命题,p(2)是真命题,则实数m的取值范围为.解析若p(1)是假命题,当x=1时,12+2×1-m≤0,解得m≥3;若p(2)是真命题,当x=2时,22+2×2-m>0,解得m<8;求交集后实数m的取值范围为[3,8).答案[3,8)5.(1)已知对任意的x∈{x|1≤x≤3},都有m≥x,求实数m的取值范围.(2)已知存在实数x∈{x|1≤x≤3},使m≥x,求实数m的取值范围.解(1)由于对任意的x∈{x|1≤x≤3},都有m≥x,故只需m大于或等于x的最大值,即m≥3.实数m的取值范围为[3,+∞).(2)由于存在实数x∈{x|1≤x≤3},使m≥x,故只需m大于或等于x的最小值,即m≥1.实数m的取值范围为[1,+∞).素养培优练(2020北京高一月考)在平面直角坐标系xOy中,设Ω为边长为1的正方形内部及其边界的点构成的集合.从Ω中的任意点P作x轴、y轴的垂线,垂足分别为MP,NP.所有点MP构成的集合为M,M中所有点的横坐标的最大值与最小值之差记为x(Ω);所有点NP构成的集合为N,N中所有点的纵坐标的最大值与最小值之差记为y(Ω).给出以下命题:①x(Ω)的最大值为❑√2;②x(Ω)+y(Ω)的取值范围是[2,2❑√2];③x(Ω)-y(Ω)恒等于0.其中正确结论的序号是()A.①②B.②③C.①③D.①②③解析由题意,根据正方形的对称性,设正方形的初始位置为正方形OABC,画出图形,如下图所示:正方形的边长为1,所以正方形的对角线长为❑√2.当正方形OABC绕O顺时针旋转时,可以发现当对角线OB在横轴时,如图所示,x(Ω)的最大值为❑√2,故结论①正确;此时x(Ω)=❑√2,y(Ω)=❑√2,所以有x(Ω)+y(Ω)=2❑√2,当正方形OABC绕O顺时针旋转时,当正方形有一边在横轴时,x(Ω),y(Ω)有最小值为1,即x(Ω)=1,y(Ω)=1,所以x(Ω)+y(Ω)有最小值为2,所以有x(Ω)+y(Ω)=2,故结论②正确;又因为在旋转过程中(以旋转的角θ∈[0°,45°]为例),x(Ω)=❑√2cos(45°-θ),y(Ω)=❑√2cos(45°-θ),所以x(Ω)=y(Ω),所以x(Ω)-y(Ω)恒等于0,故结论③正确.答案D
