第2课时充要条件A级：“四基”巩固训练一、选择题1．函数y＝x2＋mx＋1的图像关于直线x＝1对称的充要条件是()A．m＝－2B．m＝2C．m＝－1D．m＝1答案A解析函数y＝x2＋mx＋1的图像关于直线x＝1对称的充要条件是－＝1，即m＝－2.故选A.2．已知p：x≤－1或x≥3，q：x>5，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案B解析由{x|x>5}是{x|x≤－1或x≥3}的真子集，可知p是q的必要不充分条件．故选B.3．若x，y∈R，则“x≤1，y≤1”是“x2＋y2≤1”成立的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案B解析因为若x，y∈R，x≤1，y≤1，则x2＋y2≤1不一定成立，所以充分性不成立．若x2＋y2≤1，则可得x≤1且y≤1，所以必要性成立．故选B.4．已知a，b是实数，则“a<0且b<0”是“a＋b<0且ab>0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案C解析“a<0且b<0”可以推出“a＋b<0且ab>0”，反之也是成立的．故选C.5．如果A是B的必要不充分条件，B是C的充要条件，D是C的充分不必要条件，那么A是D的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案B解析根据题意列出A，B，C，D的关系如图，显然有D⇒C⇒B⇒A，即D⇒A；可从集合的角度考虑得出A⇒D．故选B.二、填空题6．下列命题中是真命题的是________(填序号)．①“x>2且y>3”是“x＋y>5”的充要条件；②“x>1”是“|x|>0”的充分不必要条件；③“b2－4ac<0”是“f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函数值恒小于0”的充要条件；④“三角形的三边满足勾股定理”的充要条件是“此三角形为直角三角形”．答案②④解析①因为由x>2且y>3⇒x＋y>5，但由x＋y>5不能推出x>2且y>3，所以“x>2且y>3”是“x＋y>5”的充分不必要条件．②因为由x>1⇒|x|>0，而由|x|>0不能推出x>1，所以“x>1”是“|x|>0”的充分不必要条件．③因为由b2－4ac<0不能推出f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函数值恒小于0，而由f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函数值恒小于0⇒b2－4ac<0，a<0，所以“b2－4ac<0”是“f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函数值恒小于0”的必要不充分条件．④由三角形的三边满足勾股定理⇒此三角形为直角三角形，由三角形为直角三角形⇒该三角形的三边满足勾股定理，故②④是真命题．7．“x>0成立”是“|x|＝x成立”的________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)．答案充分不必要解析因为|x|＝x⇒x≥0，{x|x>0}{x|x≥0}，由此可知“x>0成立”是“|x|＝x成立”的充分不必要条件．8．“方程x2－2x－a＝0无实根”的充要条件是_______．答案a<－1解析方程x2－2x－a＝0无实根，所以有Δ＝4＋4a<0，解得a<－1.反之，若a<－1，则Δ<0，方程x2－2x－a＝0无实根．故“方程x2－2x－a＝0无实根”的充要条件是a<－1.三、解答题9．证明：ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.证明①充分性：由a＋b＋c＝0得a＝－b－c，代入ax2＋bx＋c＝0，得(－b－c)x2＋bx＋c＝0，即(1－x)(bx＋cx＋c)＝0.∴ax2＋bx＋c＝0有一个根为1.②必要性：由ax2＋bx＋c＝0有一个根为1，把它代入方程即有a＋b＋c＝0.综上可知，ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.10．已知p：00两种情况，当xy＝0时，不妨设x＝0，则|x＋y|＝|x|＋|y|成立．当xy>0，即x>0，y>0或x<0，y<0时．又当x>0，y>0时，|x＋y|＝x＋y，|x|＋|y|＝x＋y，∴等式成立．当x<0，y<0时，|x＋y|＝－(x＋y)，|x|＋|y|＝－x－y＝－(x＋y)，∴等式成立．总之，当xy≥0时，|x＋y|＝|x|＋|y|成立．②必要性：若|x＋y|＝|x|＋|y|且x，y∈R，得|x＋y|2＝(|x|＋|y|)2，即x2＋2xy＋y2＝x2＋y2＋2|x|·|y|，∴|xy|＝xy，∴xy≥0.综上可知，xy≥0是等式|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件．
