补集及其综合应用(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．若全集U＝{0,1,2,3}且∁UA＝{2}，则集合A的真子集共有()A．3个B．5个C．7个D．8个【解析】A＝{0,1,3}，真子集有23－1＝7.【答案】C2．已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合∁U(A∪B)＝()A．{x|x≥0}B．{x|x≤1}C．{x|0≤x≤1}D．{x|0－2}，T＝{x|x2＋3x－4≤0}，则∁RS∪T＝________.【解析】∵集合S＝{x|x>－2}，∴∁RS＝{x|x≤－2}，由x2＋3x－4≤0，得T＝{x|－4≤x≤1}，故∁RS∪T＝{x|x≤1}．【答案】(－∞，1]7．已知集合A、B均为全集U＝{1,2,3,4}的子集，且∁U(A∪B)＝{4}，B＝{1,2}，则A∩∁UB＝________.【解析】∵U＝{1,2,3,4}，∁U(A∪B)＝{4}，∴A∪B＝{1,2,3}，又∵B＝{1,2}，∴{3}⊆A⊆{1,2,3}．又∁UB＝{3,4}，∴A∩∁UB＝{3}．【答案】{3}8．设全集U＝R，集合A＝{x|x≥0}，B＝{y|y≥1}，则∁UA与∁UB的包含关系是________.【导学号：97512007】【解析】∁UA＝{x|x<0}，∁UB＝{y|y<1}＝{x|x<1}．∴∁UA⊆∁UB.【答案】∁UA⊆∁UB三、解答题9．设A＝{x∈Z||x|＜6}，B＝{1,2,3}，C＝{3,4,5}，求：(1)A∪(B∩C)；(2)A∩∁A(B∪C).【导学号：60210021】【解】A＝{－5，－4，－3，－2，－1,0,1,2,3,4,5}，(1)由B∩C＝{3}，∴A∪(B∩C)＝A＝{－5，－4，－3，－2，－1,0,1,2,3,4,5}．(2)由B∪C＝{1,2,3,4,5}，∁A(B∪C)＝{－5，－4，－3，－2，－1,0}，∴A∩∁A(B∪C)＝{－5，－4，－3，－2，－1,0}．10．设全集为R，A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|2＜x＜10}，求：(1)A∩B；(2)∁RA；(3)∁R(A∪B)．【解】(1)∵A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|2＜x＜10}，∴A∩B＝{x|3≤x＜7}．(2)又全集为R，A＝{x|3≤x＜7}，∴∁RA＝{x|x＜3或x≥7}．(3)∵A∪B＝{x|2＜x＜10}，∴∁R(A∪B)＝{x|x≤2或x≥10}．[能力提升]1．若全集U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{2,3}，N＝{1,4}，则集合{5,6}等于()A．M∪NB．M∩NC．∁UM∪∁UND．∁UM∩∁UN【解析】∵全集U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{2,3}，N＝{1,4}，∴M∪N＝{1,2,3,4}，则∁UM∩∁UN＝∁UM∪N＝{5,6}．故选D.【答案】D2．已知全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x＝2a，a∈A}，则集合∁U(A∪B)中元素个数为()A．1B．2C．3D．4【解析】∵A＝{1,2}，∴B＝{2,4}，∴A∪B＝{1,2,4}，∴∁U(A∪B)＝{3,5}．【答案】B3．已知全集U＝{2,3，a2－a－1}，A＝{2,3}，若∁UA＝{1}，则实数a的值是________.【导学号：60210022】【解析】∵U＝{2,3，a2－a－1}，A＝{2,3}，∁UA＝{1}，∴a2－a－1＝1，即a2－a－2＝0，解得a＝－1或a＝2.【答案】－1或24．设全集U＝R，集合A＝{x|x≤－2或x≥5}，B＝{x|x≤2}．求(1)∁U(A∪B)；(2)记∁U(A∪B)＝D，C＝{x|2a－3≤x≤－a}，且C∩D＝C，求a的取值范围．【解】(1)由题意知，A＝{x|x≤－2或x≥5}，B＝{x|x≤2}，则A∪B＝{x|x≤2或x≥5}，又全集U＝R，∁U(A∪B)＝{x|2＜x＜5}．(2)由(1)得D＝{x|2＜x＜5}，由C∩D＝C得C⊆D，①当C＝∅时，有－a＜2a－3，解得a＞1；②当C≠∅时，有解得a∈∅.综上，a的取值范围为(1，＋∞)．
