高中数学 第一章 解三角形 1.2.3 三角形中的几何计算课时作业（含解析）新人教A版必修5-新人教A版高一必修5数学试题VIP专享VIP免费

课时作业6三角形中的几何计算时间：45分钟——基础巩固类——一、选择题1．在△ABC中，A满足sinA＋cosA＝1，AB＝2，BC＝2，则△ABC的面积为(A)A.B．2C．3D．6解析：由得∴A＝120°.由正弦定理，得＝，∴sinC＝.∴C＝30°，∴B＝30°，∴S△ABC＝AB·BCsinB＝×2×2×sin30°＝.2．在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积S△ABC＝，则边BC的长为(A)A.B．3C.D．7解析：∵S△ABC＝AB·ACsinA＝，∴AC＝1.由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcosA＝4＋1－2×2×1×cos60°＝3，即BC＝.3．在△ABC中，a＝，b＝1，B＝30°，则△ABC的面积S为(D)A.B.C.或D.或解析：由正弦定理＝，得sinA＝＝＝，所以A＝60°或A＝120°.当A＝60°时，C＝90°，S＝＝＝；当A＝120°时，C＝30°，S＝absinC＝××1×sin30°＝.4．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，如果2b＝a＋c，B＝30°，△ABC的面积为，则b等于(A)A．1＋B.C.D．2＋解析：由acsin30°＝，得ac＝6，由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos30°＝(a＋c)2－2ac－ac＝4b2－12－6，得b＝＋1.5．在△ABC中，AC＝，BC＝2，B＝60°，则BC边上的高等于(B)A.B.C.D.解析：如图，在△ABC中，由余弦定理可知：1AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcosB，即7＝AB2＋4－2×2×AB×.整理得AB2－2AB－3＝0.解得AB＝－1(舍去)或AB＝3.故BC边上的高AD＝AB·sinB＝3sin60°＝.6．如图，在四边形ABCD中，已知B＝C＝120°，AB＝4，BC＝CD＝2，则该四边形的面积等于(B)A.B．5C．6D．7解析：连接BD，在△BCD中，由余弦定理，得BD2＝22＋22－2×2×2·cos120°＝12，即BD＝2.因为BC＝CD，所以∠CBD＝30°，所以∠ABD＝90°，即△ABD为直角三角形．故S四边形ABCD＝S△BCD＋S△ABD＝×2×2×sin120°＋×4×2＝5.二、填空题7．在△ABC中，BC＝2，B＝，当△ABC的面积等于时，sinC＝.解析：由三角形的面积公式S＝AB·BCsin＝易求得AB＝1，由余弦定理得AC＝，再由三角形的面积公式S＝AC·BCsinC＝，即可得出sinC＝.8．等腰三角形底边长为a，腰长为2a，则腰上的中线长等于a.解析：如图，AB＝AC＝2a，BC＝a，2设BC中点为D，连接AD，则AD⊥BC.在Rt△ABD中，cosB＝＝＝.设AB中点为点E，连接CE，则在△BEC中，BE＝BC＝a，由余弦定理CE2＝CB2＋BE2－2CB·BE·cosB＝a2＋a2－2a2·＝2a2－a2＝a2.所以CE＝a.9．在△ABC中，已知AB·AC＝tanA，当A＝时，△ABC的面积为.解析：因为AB·AC＝|AB|·|AC|cosA＝tanA，且A＝，所以|AB|·|AC|＝，所以△ABC的面积S＝|AB|·|AC|sinA＝××sin＝.三、解答题10．已知a，b，c分别为锐角△ABC三个内角A，B，C的对边，2bsinC＝c.(1)求角B的大小；(2)若b＝2，△ABC的面积为，求a，c的值．解：(1)因为2bsinC＝c，所以根据正弦定理得2sinBsinC＝sinC，所以sinB＝，又因为B∈，所以B＝60°.(2)根据题意得所以解得11．在△ABC中，若角A，B，C的对边分别是a，b，c，求证：－＝－.证明：左边＝－＝－＝－－＋＝－－＋＝－＝右边，所以等式成立．——能力提升类——12．△ABC的周长为20，面积为10，A＝60°，则BC的长等于(C)A．5B．6C．7D．83解析：如图，由题意得由②得bc＝40.由③得a2＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc＝(20－a)2－3×40，所以a＝7.故选C.13．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边．若△ABC的面积为，A＝15°，则＋的值为(D)A.B．2C．2D.解析：△ABC的面积S＝bcsinA＝，所以2bc＝.由余弦定理得cosA＝＝－＝－＝－sinA，所以＋＝＝2(sinA＋cosA)＝2sin(A＋45°)＝2sin60°＝.故选D.14．在△ABC中，D为边BC上一点，BD＝DC，∠ADB＝120°，AD＝2.若△ADC的面积为3－，则∠BAC＝60°.解析：设BD＝a，则DC＝2a，由已知条件有S△ADC＝AD·DC·sin∠ADC＝×2×2asin60°＝a＝3－，解得a＝－1，由余弦定理分别得到AB2＝6，AC2＝24－12，再由余弦定理得cos∠BAC＝，所以∠BAC＝60°.15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设S为△ABC的面积，满足S＝(a2＋b2－c2)．(1)求角C的大小；(2)求sinA＋sinB的最大值．解：(1)由题意可知absinC＝×2abcosC.所以tanC＝，因为0